（2+1）-维薛定谔方程的Lie对称、一维优化系统及约化

【摘要】伴随着非线性科学的发展不断涌现出描述非线性现象的非线性偏微分方程.特别,随时间演化的连续性问题均由发展(演化)方程来建立数学模型,并且问题的解决归结为求解这些发展方程的相应各种问题.目前,在数学上还没有统一有效的方法求解这类方程.因此,寻找求解方法是偏微分方程领域的主要研究课题.其中,非线性发展方程的精确解和孤立波解理论研究是非线性科学中的一个前沿和热门课题,因为我们可以通过对这些非线性方程的解的研究来确定物理量之间的定量或定性关系,并可以根据解以及解的图形探索物理量之间的直观关系.近年来由于计算机的发展,尤其是符号计算软件的出现推动了对非线性偏微分方程的研究.虽然非线性发展方程还没有系统的、统一的解法,但针对一些可积的非线性系统已经有一些有效的解法,主要的方法有：达布变换法,贝克隆变换法,分离变量法,古典和非古典Lie群法,函数展开法等.而且,新的方法还在不断涌现.鉴于目前还没有统一的求解方法,对具体的发展方程,研究其求解方法和解性质的讨论也具有重要的理论和实际应用价值.本文主要研究了一类(2+1)-维非线性薛定谔方程的Lie代数性质及其在求精确解问题中的应用,取得的学术成果如下：1.较全面综述了偏微分方程的对称方法,较好理解和掌握了该方法；2.确定了该(2+1)-维薛定谔方程的9维经典Lie代数；3.给出了该(2+1)-维薛定谔方程的9维Lie代数的一维优化系统；4.用给出的一维优化系统对(2+1)-维薛定谔方程进行了两次约化,使该方程最终被化为一系列常微分方程；5.通过求解约化后的常微分方程给出了(2+1)-维薛定谔方程的部分精确解.这些成果对薛定谔方程的进一步研究,进而对物理问题的探索有较好的理论和实际参考意义.本文分为四章,具体安排如下：第一章为绪论部分.介绍了课题的研究背景、研究现状及本文的主要工作及其研究意义.第二章介绍了Lie对称方法的一些理论基础.第三章介绍了计算薛定谔方程的Lie对称、一维优化系统及约化的具体计算过程.第四章为结论与展望部分.
【作者】母美荣；
【导师】朝鲁；
【作者基本信息】内蒙古大学，应用数学，2014，硕士
【关键词】非线性薛定谔方程；古典对称；优化系统；对称约化；不变解；

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