矩阵和张量计算中的若干问题研究

【摘要】在本文中,首先我们研究了奇异线性方程组非定常迭代法的收敛性,给出了收敛性成立的必要条件.我们进一步将新的收敛性结果运用到Hermitian半正定线性系统中.我们将一些已有的商收敛结果[11]推广到收敛.同时,将一些经典的定常迭代收敛性理论[11,12,40,66,129,132]推广到非定常情形,建立了新的非定常迭代收敛性结果,我们还将新的收敛性结果运用到求解Hermitian半正定线性系统的非定常迭代Tikhonov正则化方法[7,48]、多分裂算法[12,15,23]和非定常两阶段算法[11,14]的收敛性证明中.其次,我们研究了广义矩阵Sylvester方程(AX-YB,DX-YE)=(C,F)的有效条件数,其中A,D∈Rm×m,B,E∈Rn×n.同时,我们应用小样本统计方法快速估计了广义矩阵Sylvester方程的条件数,其计算量只需要O(m2n+mn2)次浮点数运算.数值例子表明我们给出的扰动界估计是有效的.第三,我们研究了高阶张量Sylvester方程(STE)的向后误差和扰动分析.我们给出了向后误差的上下界以及STE的一阶扰动,二阶扰动和基于残量的扰动界.我们将经典的矩阵Sylvester方程扰动结果推广到高阶情形.最后,我们改进了Google搜索引擎网页排序算法.我们进一步处理归并悬挂点之后的矩阵,将其中的一类弱非悬挂点也归并为一个节点.归并后的矩阵仍然和原始的Google矩阵具有相同的非零特征值.数值例子表明新算法可以节约计算PageRank的运算量.
【作者】侍兴华；
【导师】魏益民；
【作者基本信息】复旦大学，计算数学，2013，博士
【关键词】奇异线性方程组；商收敛；非定常迭代Tikhonov正则化；多分裂算法；两阶段算法；(广义)矩阵Sylvester方程；有效条件数；小样本统计条件数估计；张量Sylvester方程；向后误差；扰动界；Google搜索引擎PageRank算法；归并方法；

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