一种改进的径向基函数拟插值方法

【摘要】随着径向基函数（RadialBasisFunction）理论的发展[9]，其处理问题的高效率及其在计算机中储存与运算简单等优点越来越被人们所重视，这使得它在计算几何、微分方程数值解、神经网络等多方面均有着广泛的应用[16]。尤其是近年来，以Powell、Schaback、Wendland、Beaston、吴宗敏、王仁宏为代表的国内外学者对径向基函数的理论与应用进行了大量的研究，并且取得了很多成果,这使得径向基函数有了更广泛的发展。在径向基函数的众多应用中，有许多例子是通过以径向基函数为基做插值逼近完成的，这就需要求解多元线性方程组，但对多元散乱数据的插值，当数据量过大时，即使其系数矩阵不是病态的[3]，计算也会非常繁琐。由此，一些学者想到能否不求解任何线性方程组就直接给出逼近函数，拟插值相关理论由此引出，随着研究的深入，人们发现一些拟插值函数还具有保形性(例如Multi-Quadric拟插值、B-样条拟插值等)，另外，与插值相比，拟插值还具有计算稳定、计算量小等优点[19]。因此径向基函数拟插值理论发展很快，尤其是Multi-Quadric函数拟插值，在、、[10]、[5]、[8]四种拟插值格式基础上通过改进得到了很多具有良好性质的格式，参考文献[7]中冯提出了基于Multi-Quadric三次方的拟插值算子，具有二次多项式再生性、三次保形性、收敛阶可达到三阶等良好的性质。本文尝试把拟插值格式[17]较成熟的改进算法应用到以MQ函数三次方为基的拟插值格式中，数值实验结果表明，我们新构造的拟插值格式性质是令人满意的，在选取相同步长及形状参数时，在д度量下，其误差的数量级要比拟插值格式的小，进一步，我们还能得到其收敛阶比拟插值格式的高。本文基本结构如下：首先介绍径向基函数、径向基函数插值、拟插值等相关基础知识，尤其是对以Multi-Quadric和Multi-Quadric三次方为基函数的方法进行重点介绍；接下来通过介绍以Multi-Quadric三次方为基的拟插值格式及的改进算法为接下来推导本文新构造的格式做准备，然后构造新的拟插值格式；最后通过数值实验来验证新构造格式的性质并展望下阶段的工作。
【作者】王天化；
【导师】李强；
【作者基本信息】吉林大学，计算数学，2014，硕士
【关键词】径向基函数；Multi-Quadric函数；拟插值；

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