一维五次元有限体积法的超收敛性

【摘要】本文的主要工作是构造了求解两点边值问题的Lagrange五次元有限体积法.文中通过选取等距节点五次Lagrange插值多项式的导数超收敛点作为对偶单元的节点,取Lagrange型五次元有限元空间为试探函数空间,取相应于对偶剖分的分片常数函数空间为检验函数空间的方法,得到了求解两点边值问题的五次元有限体积法,证明了该方法具有最优的H1模和L2模误差估计,并讨论了对偶单元节点的导数超收敛性,并且用数值实验验证了理论分析的结果.首先,我们讨论了一维5次Lagrange插值多项式及其导数超收敛点的确定过程,利用在区间[-h,h]上的等距节点构造了五次Lagrange插值函数以及求出了其在x。处的导函数,然后将u(-h),u(-3h/5),u(-h/5),u(h/5),u(eh/5),u(h)在x0做Taylor展开,得到了当取等距节点时的Lagrange五次插值多项式的导数超收敛点.然后,我们构造了两点边值问题的一维Lagrange五次元有限体积法,考虑了问题：其中p∈C1(I),p(x)≥pmin＞0,q∈C1(I),q(x)≥0,f∈H1(I)I=[a,b].对区间I=[a,b]作剖分Th,h=max{hi},并且剖分满足正则性条件hi≥μh,其中μ为一正常数,得到对于区间Ii=[x5(i-1),x5i],(i=1,…,n)上基于6个等距节点的五次Lagrange插值多项式的导数超收敛点.取试探函数空间Uh为相应于剖分Th的Lagrange型五次有限元空间,即有：1.uh∈C(I),u(a)=0；2.uh在每个单元li=[x5(i1),x5i]上是五次多项式,它由单元端点及单元内点x5(i-1),x5i-4,x5i-3,x5i-2,x5i-1,x5i上的值所确定.Uh是U=H1E(I)的一个5n维度的子空间,其中H1E(I)={u∈H1(I);u(a)=0}我们构造出单元[-1,1]上的5次Lagrange插值多项式作为基函数,得到了相应于节点x5i-5,x5i-4,x5i-3,x5i-2,x5i-1,x5i的插值基函数,及空间Uh的基底.最后我们得到解问题(2.1)的五次有限体积元法的格式为：求uh∈Uh,使得a(uh,vh)=(f,vh),(?)vh∈Vh.第三,我们给出了一维Lagrange五次插值有限体积元法的误差估计,其中包括先验估计和H1模误差估计。先验估计即,命题1当h充分小时,双线性形式a(uh,Π*huh)正定,即存在与子空间Uh无关的常数β>0,使得a(uh,Πh*uh)≥β|uh|12,(?)uh∈Uh.及H1模误差估计命题2设问题(2.1)的解为u∈H/E(I)(?)H6(I),uh是五次有限体积格式(2.4)的解,则有H1模误差估计：|u-uh|1≤Ch5|u|6第四,我们证明了插值弱估计,|a(u-Πhu,Π*hwh)|≤Ch6‖u‖7‖wh‖1,(?)wh∈Uh,进而得到如下超收敛估计命题3设问题(2.1)的解u∈H1E(I)(?)H7(I),uh是五次有限体积格式(2.4)的解,则有：‖Πhu-uh‖1≤Ch6‖u‖7|1/rΣx∈Nk|(u-uh)’(x0)|2|1/2≤Ch6‖u‖7由上式的第一式我们得到了L2误差估计：‖u-uh‖0≤Ch6‖u‖7.最后,我们用数值算例证实了以上理论结果.
【作者】钟辉；
【导师】李松涛；李永海；
【作者基本信息】吉林大学，计算数学，2014，硕士
【关键词】两点边值问题；五次元有限体积法；误差估计；超收敛性；

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