C~3上具有特殊形式多重次数的tame自同构

【摘要】多项式环上的自同构对于仿射代数几何的研究具有重要意义,著名的Jacobi猜测正是代数几何领域的公开问题,这个猜测是说若特征为零的域上的多项式映射的Jacobi行列式为非零常数,那么这个多项式映射为多项式同构.一直以来,很多学者都致力于Jacobi猜测的研究.如今有关Jacobi猜测问题衍生出了许多问题,Tame生成子问题就是其中之一tame自同构是由初等自同构和仿射自同构经过有限次复合得到的.在线性代数中,任一可逆矩阵都可以写成有限个初等矩阵的乘积,类似地,是否任一多项式自同构都能写成初等自同构和仿射自同构的有限复合呢?也就是说是否所有的多项式自同构都是tame自同构,这即是Tame生成子问题.起初大家猜测这个问题的答案是肯定的,在一维的情形下,结果显然成立.当变量为两个时,著名的Jung-vanderKulk定理给出了肯定的答案.然而,对于三维的情形,在1972年,Nagata提出了Nagata自同构σ并猜测Nagata自同构不是tame的,这一猜测直到2003年才被Shestakov和Umirbaev证实.Shestakov和Umirbaev多项式环嵌入到一个Poisson代数中,通过Poisson括号定义了初等约化和第Ⅰ-Ⅳ型约化,并证明了在三维的情形下任一tame自同构或者满足初等约化或者满足第Ⅰ-Ⅳ型约化中的一种.Karas最先利用Shestakov与Umirbaev的约化理论研究了三元多项式自同构的多重次数,以确定具有给定多重次数的tame自同构的存在性Kuroda通过对带有权重的多项式自同构的研究,证明了第Ⅳ型约化不存在Karas证明了tame自同构的个数有无穷多个.虽然前人做了大量工作,但tame自同构群,或者自同构群的结构仍然不是很明确.本文通过对多项式自同构多重次数的讨论,证明了一类具有某种特殊形式多重次数的多项式自同构是tame的.本文所取得的主要结论如下.定理3.2.1设d1≤d2≤d3为正整数,gcd(d1,d2)=1,2d2≥d1+d3,d1<d3-d22d1,则(d1,d2,d3)是某个tame自同构的多重次数当且仅当d1|d3.定理3.2.2设d1≤d2≤d3为正整数,gcd(d1,d2)=1,2d2≥d1+d3,d3-d2<d1,(1)若d1为奇数,则(d1,d2,d3)为某个tame自同构的多重次数当且仅当d1|d3.(2)若d1为偶数,d1(?)2d3,则(d1,d2,d3)不是任何tame自同构的多重次数.定理3.3.1设正整数序歹(a,a+2k,a+3k),a≥5,gcd(a,k)=1,且(a,a+2k,a+3k)≠(6,8,9),则(a,a+2k,a+3k)不是任何tame自同构的多重次数.定理3.3.2设d1,d2均为奇数,gcd((d1,d2)=1,若(d1,d2,d3)不是任何tame自同构的多重次数,则对任意的正整数r有(rd1,rd2,rd3)不是任何tame自同构的多重次数.
【作者】陶杨；
【导师】杜现昆；
【作者基本信息】吉林大学，基础数学，2014，硕士
【关键词】多项式自同构；tame自同构；多重次数；初等约化；第Ⅰ-Ⅳ型约化；

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