关于一类分数阶拉普拉斯非自治方程层解的研究

【摘要】本论文是研究一类带分数阶拉普拉斯算子的非自治椭圆方程的层解。分数阶拉普拉斯算子是一类非局部椭圆算子,它出现在许多远程或反常物理现象中。我们证明了这类非线性椭圆方程层解的存在性和解在无穷远处的渐近估计,并且研究了当分数次数趋于1时层解的极限行为,由此我们还得到了一个经典的局部椭圆方程。第一章阐述问题的研究背景和获得的主要结论,一些文中将要用到的记号和基本定理以及全文的结构安排在这章将会给出。第二章,我们研究非局部椭圆方程其中(-△)s(s∈(0：1))是分数阶拉普拉斯算子,它是一个伪微分算子定义为式中正常数G,s仅依赖空间维数n和分数次数s,缩写P.V.代表奇积分是在柯西主值的意义下。函数b是一个正的周期函数,f是一般的Allen-Cahn型非线性项。这种椭圆算子的非局部特征需要我们小心对待带这种“非局部”算子的方程的解。在这章中,我们先考虑了特殊的情形：f是奇对称性的、在区间(0,1)上非负,b具有偶对称的特点。采用将非局部微分方程转化为退化的局部椭圆方程,我们能用经典的局部椭圆方法来讨论问题。但是这种转化会增加一个空间变量,且我们要小心转化后椭圆算子的退化性。对于我们给出的这种特殊情形,分别用了两种完全不同的方法来获得层解。1.用古典的变分法,我们证明,对s≥1/2的情形,方程存在有层解,这是一个有界解取值范围从负无穷远处的-1变换到正无穷远处的1。为获取层解在无穷远处的极限值,我们在证明过程中用到了一个Liouville结论,该结论仅对s≥1/2是成立的,而s<1/2没有相应的结论。这也是为何这里我们仅对s≥1/2给出了层解存在结论的原因。显然方程是个含空间变量x的非自治方程,对自治方程采用的滑动方法这里不能用,因而层解没有单调性且不是唯一的。2.借助于自治方程的层解,我们成功构造了非自治方程在区间(0,∞)上的上解和下解,并用单调内插方法证明了对所有的s∈(0,1),非自治方程层解的存在性。第三章我们考虑更一般的非齐次项f和一般的周期扰动函数b,也就是,在这章f和b没有对称性假设。我们仍用变分法来构造层解,不同于第二章,这里考虑了带Gagliardo半模的非局部能量泛函。通过对辅助函数复杂的能量估计,我们证实：若s>1/2,局部极小化子的非局部能量是有限的,而s≤1/2时无限。对于前者,我们构造了不断扩张的有限区间上的极小化子序列,并证明该序列存在子序列收敛到我们想要的层解,该层解其实也是一个非局部能量极小化子。若s≤1/2,由于非局部能量无限,解在无穷远处的极限情况无法判定,我们也无法明确层解是否存在,这个问题还需要我们做更深入的研究。第四章我们通过与自治方程层解在无穷远处做比较,得到了非自治方程层解在无穷远处的渐近估计,同时还研究了层解当s趋于1时的极限情形,获得了一个局部椭圆方程。
【作者】胡艳；
【导师】桂长峰；
【作者基本信息】湖南大学，应用数学，2014，博士
【关键词】Gagliardo型模；分数阶拉普拉斯算子；Allen-Cahn型方程；层解；变分法；上下解法；渐近估计；

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