基于优化和离子尺寸的Poisson-Boltzmann模型分析及其数值求解

【摘要】Poisson-Boltzmann方程(PBE)模型是应用最广的隐式溶剂连续模型,用于计算离子溶液中生物分子的静电势能、离子浓度、溶解过程中的静电自由能以及生物分子结合自由能等.虽然传统的PBE模型在生物化学以及生物工程上有许多成功应用,但因为它忽略了离子尺寸的影响而表现出了一定的局限性.为了考虑静电计算中离子尺寸的影响,文献中提出了一个size-modifiedPBE(SMPBE)模型,这个模型是通过假设离子溶液中所有离子和水分子都具有相同尺寸而得出的.然而到目前为止,SMPBE模型的数值求解仅局限于单价离子溶液中生物小分子的情形和盐溶液中一个带有中心电荷的简单小球模型情形.如何快速有效地求解离子溶液中生物大分子的SMPBE模型仍然是计算生物学、计算数学、以及高性能科学计算领域中一个极富挑战性的研究课题.为了解决上述难题,本文首先给出了SMPBE模型的一个新的数学分析.在传统意义下,SMPBE模型是一个以Poisson介电模型为约束条件的静电自由能变分问题(即偏微分方程(PDE)约束最优化问题)的Euler方程.然而,由于生物分子中原子点电荷产生的Dirac-delta分布引起的奇异性问题,这个PDE约束最优化问题被认为是病态的.在对这个PDE约束最优化问题进行分析前,需要对它进行一些修改.作为早期工作的延续,本文用解的分解技巧将这个PDE约束最优化问题修改成了一个具有良好性态的最优化问题,然后证明了SMPBE模型是这个新的最优化问题的Euler方程.本文进一步提出了SMPBE模型的一个新的分解式,这个分解式将SMPBE模型的解u分解成三个函数G,Ψ和φ.其中G是集合了u中所有奇异点的已知函数,Ψ是一个具有良好性态的线性椭圆界面问题的解,以及φ是具有良好性态的非线性椭圆界面问题的解.这样的分解显著地简化了SMPBE模型的分析和求解.为了证明这个非线性椭圆界面问题解的存在唯一性,本文构造了一个等价的变分问题,并证明了它具有唯一解.这样就给出了SMPBE模型的解的存在唯一性的一个新的证明,注意到线性椭圆界面问题的解的存在唯一性在文献中已有相应结果.基于SMPBE模型的上述新的数学分析和它的解的新分解式,本文提出了一个用有限元方法实现的有效的最优化方案来求解SMPBE模型.在该求解方案下,不同的线性或非线性的迭代算法的选取就会产生不同的SMPBE数值解法.作为对这个最优化方案的应用,对一个生物大分子处于对称的1：1离子溶液中的模型,本文设计了一个用Newton类最优化方法来求解其中的非线性最优化问题的SMPBE算法.并将这个SMPBE算法编写成了一个有限元程序,作为谢德宣教授高性能科学计算实验室(UniversityofWisconsin-Milwaukee,USA)中生物分子静电计算程序包的一部分.在数值实验部分,本文首先构造了带有解析解的非线性SMPBE小球模型来验证SMPBE数值算法.同时也数值测试了盐水溶液中带有一个电荷在中心的小球模型来表明SMPBE模型很好地反映了离子溶液的一些物理特性.然后进一步数值测试了带有不同净电荷的6个生物分子系统(蛋白、DNA、以及蛋白与DNA的复合体)来表明SMPBE有限元程序的高效性.作为对这个SMPBE算法和程序的应用,本文最后计算了生物分子系统的溶剂化自由能和静电势能,并与PBE模型的计算结果进行了比较.在PBE模型的数值求解中,一个线性化的PBE(LPBE)模型通常用来近似求解PBE模型.基于新的PBE模型的分解式,本文构造了LPBE模型的一种新的求解方案.本文也研究和数值测试了一个新的LPBE模型.同时用Python语言将这个新LPBE模型和LPBE模型的新的求解方案编写成了一个有限元程序,这也将作为谢德宣教授高性能科学计算实验室中生物分子静电计算程序包的一部分.数值结果验证了这个LPBE模型新的计算方案的有效性,以及这个新LPBE模型能显著地改进传统的LPBE模型的解的精度和应用范围.此博士论文用LATEX2ε软件打印.
【作者】李姣；
【导师】杨余飞；谢德宣；
【作者基本信息】湖南大学，计算数学，2014，博士
【关键词】PDE约束优化；线性化Poisson-Boltzmann方程；size-modifiedPoisson-Boltzmann方程；自由能泛函；FEniCS；GAMer；Python；New-ton类方法；

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