偏泛函微分方程中心流形与正规型理论及应用研究

【摘要】本文给出了计算对称的含参数的时滞偏泛函微分方程的等变正规型的一个简单而又有效的方法.截至目前,泛函微分方程正规型理论体系发展已经比较完善了,关于这一理论及其应用的研究著作也非常多.但是对于偏泛函微分方程尤其是具有对称性的偏泛函微分方程而言,正规型理论的发展还比较缓慢,关于这方面的理论成果也比较少,这也使得偏泛函微分方程动力学性质的研究尤其是分岔分析更加不易.随着各个学科的蓬勃发展,越来越多的偏泛函微分方程被用来描述化学、种群生态学、细胞生物学和控制理论等学科中的动力学过程,作为研究动力学问题最为重要的工具之一的正规型理论的建立和完善则变得尤为必要.本文的主要目的就是在现有的偏泛函微分方程中心流形(不变流形)的存在性和自治的时滞泛函微分方程的正规型理论的基础之上建立偏泛函微分方程的等变正规型理论.我们工作的主要步骤是：首先对相空间进行分解,将偏泛函微分方程在平衡点处的线性化系统转化成一系列的泛函微分方程,并对无穷小生成元进行谱分析；再对相空间进行扩展,进一步地将偏泛函微分方程转化为抽象的常微分方程；最后根据中心流形(或不变流形)的存在性及其结构,计算所得抽象的常微分方程在中心流形上的正规型,从而得到原系统的正规型.我们得到的约化向量场的形式不仅依赖于原系统在平衡点处的线性系统,还依赖于原系统固有的对称性,而且由原系统的正规型不仅能够看出分岔的存在性,还能得到分岔解的时空模式、稳定性和分岔方向.为了进一步说明我们的理论结果,我们还运用该理论成果研究了几个具有对称性的时滞偏泛函微分方程的分岔行为.本文的主要研究内容为：第一,我们给出了计算偏泛函微分方程等变正规型的方法.首先,根据线性偏微分算子的特征函数来对相空间进行分解,并对无穷小生成元进行谱分析,然后考虑偏泛函微分方程在平衡点处的线性化系统,再通过扩展相空间将原方程转化为扩展空间上的抽象常微分方程,最后通过计算该抽象常微分方程的正规型得到偏泛函微分方程的正规型,且该正规型仍然保持原方程的对称性.第二,在第4章中,我们运用所得理论结果研究了三种具有不同对称性的偏泛函微分方程的Hopf分岔行为.第一个方程的对称性是关于空间变量的,第二个方程的对称性是关于状态变量的,而第三个方程同时具有前两种对称性.由此可见,我们给出的理论方法能够广泛适用于各种具有对称性的偏泛函微分方程.第三,我们利用所获得的理论方法并结合对称性破缺理论,详细分析了一类具有短路径连接的环状扩散的小世界系统的动力学行为.主要研究了一个规则环状扩散系统和一个具有短路径连接的环状扩散系统的分岔行为,包括静态分岔、Hopf分岔和非平凡平衡点的二次分岔.运用等变分支引理,我们得到了静态分岔的存在性,同时对由平凡解分岔出的非平凡平衡点的存在性、时空模式及稳定性都进行了详细分析.运用等变Hopf定理,我们得到了由平凡解分岔出的周期解的存在性和时空模式,并运用正规型理论推导出了判断Hopf分岔的分岔方向和分岔周期解的稳定性的公式.最后通过比较规则扩散系统和具有短路径连接的扩散系统的分岔行为的差异,我们得出结论：短路径连接可以作为控制系统的动力学行为的一个简单而又有效的“开关”.第四,我们利用中心流形约化的方法和对称性破缺理论,分析了一类无扩散项的具有短路径连接的环状系统的静态分岔、Hopf分岔和非平凡平衡点的二次分岔.通过扩散系统与无扩散项的系统的分岔行为的比较,我们能够更清楚地看出扩散项对系统的分岔方向、稳定性以及分岔解的时空模式的影响.
【作者】满娟娟；
【导师】郭上江；
【作者基本信息】湖南大学，应用数学，2014，博士
【关键词】偏泛函微分方程；中心流形；正规型；李群；迷向子群；等变分岔；小世界网络；短路径；

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