亚纯函数值分布与正规族理论的一些新结果

【摘要】亚纯函数正规族和值分布理论是我们研究的主要课题.二者相互推动着彼此的进一步发展.在探索的进程中我们得到了一些新的结果,这些结果在相应的研究领域做出了突破性的进展.1.亚纯函数正规族与例外函数列.近来,亚纯函数正规族理论的研究有着很大的突破.在第二章,我们首次利用数学归纳法研究了涉及例外函数列的正规定则,并且举例来说明例外函数列与之前所研究的例外函数有着本质性的区别.我们的结果如下设F={fn}是区域D内的亚纯函数列,其零点和极点的重级均≥3.{hn}是D内的亚纯函数列,其极点均为重级的,且满足{hn}.在D内按球距内闭一致收敛于h,其中h是在D内无零点的亚纯函数.若对任意z∈D,f’n(z)≠hn(z),则F在D内正规.2.亚纯函数正规族与微分不等式.在第三章,我们主要关注于微分不等式和正规性之间的关系.这一研究起源于著名的Marty定理.近来,对于具有反方向(“≥”)的微分不等式的研究非常活跃.很幸运,我们得到了如下非常有趣的结果设k≥0是整数,C>0,α>1是常数.F是D内的一族亚纯函数,若对任意f∈F口任意z∈D满足则F在D内正规.3.全纯函数正规族与例外函数.对于正规定则的研究,我们最终希望考虑的函数族是亚纯函数族.但有些正规定则仅适应于全纯函数族.在第四章我们继续研究仅适应于全纯函数族的正规定则,得了当例外函数由全纯函数改进为亚纯函数h(z)时的一个结果,并给出反例来说明此结果对亚纯函数族不成立.设F是区域D(?)C内的一全纯函数族,其零点重级均至少为k,其中k≥2是整数.且h(z)≠0,∞是D内的亚纯函数.假设下面的两个条件对任意f∈F成立：(a)f(z)=0(?)|f(k)(z)|<(z)|且(b)f(k)(z)≠h(z).则F在D内正规.4.亚纯函数值分布理论的一个结果.亚纯函数正规族理论的应用价值在值分布论中有着完美的展现.在第五章我们利用正规族理论继续研究了Picard型定理,得到了一个新的涉及高阶导函数与椭圆函数的Picard型定理.设k≥2是正整数,h是非常数的椭圆函数,f是C上的非常数的亚纯函数,除了可能有限多个外,其零点重级均至少为k+1.若当r→∞时,T(r,h)=o{T(r,f)},则f(k)=h有无限多个根(包含f和h的无穷多个公共极点的可能性).
【作者】陈巧玉；
【导师】庞学诚；
【作者基本信息】华东师范大学，基础数学，2014，博士
【关键词】亚纯函数；正规族；例外函数列；微分不等式；例外函数；Picard型定理；椭圆函数；

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