特殊矩阵和非线性矩阵方程的若干结果

【摘要】本文主要研究了以下内容：非线性矩阵方程Xs+A*X-tA=Q和Xs+A*F(X)A=Q的相关理论；增生-耗散矩阵范数不等式；两个非负矩阵Hadamard积的谱半径；两个M-矩阵Fan积的最小特征值；M-矩阵和M-矩阵逆的Hadamard积的最小特征值；对角魔方矩阵的性质分析；可对角化矩阵特征值的扰动界；任意矩阵的奇异值的扰动界.具体如下：1.研究了非线性矩阵方程Xs+A*X-t=Q有Hermitian正定解的条件,其中Q是一个Hermitian正定矩阵.分以下四种情况讨论这个方程：(a)当s和t都是正整数时,研究了上述非线性矩阵方程存在Hermitian正定解时[det(AA*)]1/n的上界；[detX]1/n的上下界；trX的上下界；Hermitian正定解特征值的上下界,特征值部分和的上下界以及特征值部分乘积的上界；(b)当s≥1,0<t≤1时,研究了Hermitian正定解所在的区间；(c)当0<s≤1,t≥1时,同样研究了Hermitian正定解所在的区间；(d)当s,t>0时,研究了Hermitian正定解的一些性质.非线性矩阵方程存在Hermitian正定解时A的谱半径和谱范数的估计.2.对于非线性矩阵方程Xs+A*F(X)A=Q(s≥1),给出了此方程存在Hermitian(半)正定解与存在唯一解的条件,并由此得到唯一解的不动点迭代及其扰动分析.3.给出了块增生-耗散矩阵中非对角块和对角块之间的范数不等式；给出了增生-耗散矩阵与其对角块之间的范数不等式.4.给出了非负矩阵A与BHadamard积的谱半径的上界；给出了非奇异M-矩阵A与BFan积的最小特征值的下界,并给出了B与A-1Hadamard积的最小特征值的下界.5.提出了对角魔方矩阵的定义,并证明了：对角魔方矩阵的秩小于等于2；对角魔方矩阵的子方阵为对角魔方矩阵；对角魔方矩阵与某类特定矩阵的乘积为对角魔方矩阵.6.分别研究了可对角化矩阵特征值的扰动界与任意矩阵奇异值的扰动界.
【作者】周端美；
【导师】陈果良；
【作者基本信息】华东师范大学，计算数学，2014，博士
【关键词】增生-耗散矩阵；Frobenius范数；酉不变范数；不等式；非线性矩阵方程；Hermitian正定解；存在性；扰动界；非负矩阵；M-矩阵；Hadamard积；Fan积；谱半径；最小特征值；对角魔方矩阵；秩；循环矩阵；特征值；可对角化矩阵；奇异值；

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