高一秩量子群的公理化递归构造与Jacobson-Witt代数的量子化

【摘要】本文主要研究的是高一秩量子群的递归构造,Jacobson-Witt代数的量子化及A型量子群的量子广义射影表示.文章分为四个部分：第一部分在量子拟对称代数的框架下给出高一秩量子包络代数的递归构造.第二部分利用量子微分算子给出了量子群Uq(sln+l)在量子Weyl代数中的匹配实现.第三部分给出了整个Jacobson-Witt代数的量子化.第四部分在给出了A型量子广义射影表示的具体构造后,进一步给出了此表示不可约的一个充分必要条件.这四部分的逻辑关联是：第一部分和第二部分研究的都是高一秩量子群的递归构造,前者利用的工具是量子拟对称代数,后者利用的是量子微分算子.第二部分Uq(sln+1)在量子Weyl代数中的匹配实现相当于给出了Jacobson-Witt代数的负一阶,零阶和一阶的一个abelian子代数的量子化,这为第三部分量子化整个Jacobson-Witt代数奠定基础.而第四部分中的Ug(sln+1)的量子广义射影表示实际上是第二部分中Uq(sln+1)在量子Weyl代数中的匹配实现的推广,所以第二部分的结论可以为第四部分量子广义射影表示的构造提供一些有用的信息.在第一章中,我们介绍了量子拟对称代数及其特殊情形量子对称代数的概念.1998年,Rosso利用量子对称代数给出了量子群的正部分的公理化实现.之后2013年,房欣-Rosso又进一步利用量子拟对称代数给出了整体量子群(单参数)及其不可约表示的公理化实现.本文是从一个秩n-1的量子群Uq(gn-1),它的一个合适的不可约表示及其对偶表示出发,利用量子拟对称代数,递归构造出相应的秩n的量子群Uq(gn),其中gn的Cartan矩阵是由gn-1的Cartan矩阵添加适当的一行一列得到的.在第二章中,我们将高一秩的量子包络代数Uq(sln+1)实现为定义在秩n的量子除幂代数A(n)上的量子Weyl代数Wq(2n)中的一些量子微分算子.我们不但给出了Uq(sln+1)的单根向量的量子微分算子实现,还给出了它的复合根向量的实现.量子根向量公式在Lusztig对称作用下的良好的表现进一步说明了我们的实现模型是内蕴匹配的.第三章我们在第二章的基础上进一步给出了整个Jacobson-Witt代数W(n)的量子化.我们首先按照模结构将W(n)的每个分次W(n)l量子化,得到量子群Uq(sln)的一个模Vq,然后通过一系列改造将它做成一个Uq(sln)-Hopf双模.这使得我们可以建立其上的量子对称代数,从而给出整个W(n)的包络代数U(W(n))的量子化.此问题一直是个开的难问题,由胡乃红在做洪堡学者时提出.第四章将Uq(sln+1)在量子Weyl代数Wq(2n)中的匹配实现进一步推广为Uq(sln+1)的量子广义射影表示Aq(n)(?)V,特别的,取V为平凡表示时,Uq(sln+1)的量子广义射影表示即退化为匹配实现.我们在具体构造出了Uq(sln+1)的量子广义射影表示之后,还给出了此表示不可约的一个充分必要条件.作为应用,对任意给定的一个有限维不可约Uq(sln)-模,我们可以得到一族新的无限维的不可约Uq(sln+1)-模,并且一般情况下它们不是最高权模.
【作者】王慎有；
【导师】胡乃红；
【作者基本信息】华东师范大学，基础数学，2014，博士
【关键词】量子包络代数；量子拟对称代数；递归构造；量子微分算子；量子Weyl代数；Lusztig对称；匹配实现；量子广义射影表示；不可约模；

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