双曲守恒律方程的弱解公式及相关问题的研究

【摘要】本文研究了一维齐次、非齐次双曲守恒律方程的弱解及其结构,对相应的柯西问题,给出了几个弱解公式；本文还研究了高维非齐次双曲守恒律方程的黎曼问题,给出了n维非自相似基本波解的理论表达式；最后,本文研究了二维齐次双曲守恒律方程的黎曼问题,得到了一类更广泛的非自相似解的全局结构及其结构的分类,提出了基于包络类型判别的对全局非自相似解的分类的新方法。本文在第3章研究了一维守恒律方程(3.1.1)的柯西问题,给出了其柯西问题的弱解公式。我们对流函数对(F(u),G(u))的基本假设是F’(u)恒大于零和(G’(u)/F’(U))’大于等于零且只有有限个零点；我们的初值可以为有界函数或一类无界函数(只要在无穷远处的增长性满足一定限制)。第3章有一个我们的弱解公式的重要推论,当F(u)=u,G(u)=f(u)时,方程变为UT+f(u)x=0,此时我们的弱解公式关于流函数f(u)和初值φ(x)的基本假设是f”(u)≥0(等号只对有限个u值成立)和初值φ(x)可以为有界函数或一类无界函数,较Lax-Oleinik公式的假设——f”(u)>0和初值φ(x)有界——更弱,我们的弱解公式推广了著名的Lax-Oleinik公式。在第4章我们研究了非齐次项为ku+c的一维守恒律方程(4.1.1)的柯西问题。对于一般的凸流函数f(u)和有界的初值,我们构造了一个实函数,并应用这个函数再构造了其柯西问题的弱解,从而得到弱解公式。以往在公开的数学期刊上没有发现关于非齐次双曲守恒律方程的柯西问题的弱解公式。在第5章我们研究了n维非齐次守恒律方程(5.1.1)的黎曼问题,我们研究了最基础、最典型的非自相似初值,即初值为两片常数,被一个弯曲的初始间断分开成两个无界的区域,因为非齐次项的存在,方程的特征不再是直线,因此激波间断面的两侧的值不再是常数,情况变得更为复杂；当初始间断满足(H)条件时,我们构造了其n维激波和n维稀疏波的理论表达式。最后我们计算了两个例子,其中一个是非齐次项为周期函数的情形,我们构造了其n维激波和n维稀疏波的表达式,发现其n维稀疏波不再像齐次情形下的n维稀疏波有一扇一扇的柱面型的等值面,而是更复杂的一类曲面簇,它们的结构有着本质的区别。最后,在第6章我们研究了二维单个齐次守恒律方程的黎曼问题的非自相似解,初值为两片常数,被一条弯曲的初始间断线分开成两个无界的区域,但初始间断不满足(H)条件,此时特征会交错到一起,我们通过对特征所形成的包络的分析、分类,给出了正包络、负包络和混合型包络的概念,并根据对特征面所形成的不同的包络类型的判别,对二维非自相似解的全局演化结构进行了分类,发现了一些二维非自相似解的新的全局结构和演化规律。
【作者】曹高伟；
【导师】杨小舟；
【作者基本信息】中国科学院研究生院（武汉物理与数学研究所），应用数学，2014，博士
【关键词】弱解公式；柯西问题；一维齐次守恒律方程；一维非齐次守恒律方程；高维非齐次守恒律方程；黎曼问题；n维激波；n维稀疏波；包络；

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