图的平衡划分问题

【摘要】设k是一个正整数,简单图G的一个k-部划分是指将G的顶点集划分成k个互不相交的顶点集.对于图G的一个k-部划分,如果对任意不同的i,j∈{1,2,…,k)有-1≤|Vi|-|Vj|≤1,其中|Vi|和|Vj|分别表示Vi和Vj的顶点数,则称Vl…,Vk是G的一个k-部平衡划分.本文主要研究关于图的平衡划分的问题.给定V(G)的一个k-部划分Vl,…,Vk,我们用e(Vi)来表示导出子图G[Vi]的边数,且令e(V1….,Vk)=|E(G)|-∑i=1ke(Vi).通常,e(Vl,…,Vk)用来表示k部划分的大小.我们所关注的其中一类问题是寻找给定图G的一个k-部平衡划分Vl,…,Vk,使得e(V1….,Vk)达到最小.与此相反,我们另外所考虑的一类问题是“公平”划分问题：给定一个图G,求它的一个划分Vl,…,Vk,使min{e(Vi):i=1…,k)尽可能达到最大.文献[18]中,Bollobas和Scott提出问题：给定一个有n个顶点m条边的图G,我们可以确定的二部平衡划分的最大值或最小值是多少?近来,Xu,Yah和Yu[76]证明了每个有m条边的图G都存在一个大小至少是m+|m|/2的二部平衡划分,这里M是G的一个匹配.这个界被证明在奇数个顶点的完全图上是紧的.Fan等人在文献[31]中证明了任何一个图G都有一个大小最多是1/2(|E(G)|+[|V(G)|/2]-|M|)的最小二部划分,其中M是G的补图的一个最大匹配.这个界在奇数个顶点的完全图上也是紧的.有一个未知名的猜想(见[31])：每个n个顶点的图都存在一个二部平衡划分V1,V2使得e(V1,V2)≤n.如果这个猜想成立,由K4可以说明这个界是最优的.设G是一个n个顶点的平面图.在文献[31]中,Fan等人证明了若G没有可分离三角形,那么它存在一个大小至多是n+1的平衡二部划分,同时他们也证明了每个n≥3个顶点的连通无三角形的平面图都有一个二部平衡划分V1,V2使得e(V1,V2)≤n-2,且极图恰好是K1,3,K3.3-e和K2,k,k≥1.在文献[18]中,Bollobas和Scott还猜想：每个m条边且最小度至少是2的图G存在一个平衡二部划分V1,V2使得max{e(V1),e(V2))≤m/3.Xu,Yah和Yu[75]证明了若△(G)≤7/5δ(G),则图G的每个最大二部平衡划分都满足max{e(V1),e(V2))≤e(G)/3.在第二章中,我们首先在没有三角形的一般图类上改进了Fan等人的最小二部划分的上界,改进到m+1/2.然后我们证明了2-连通图G存在一个平衡二部划分V1,V2使得G[V1]和G[V2]都连通,同时给出平面图上最小二部平衡划分更好的一个上界.最后我们将Fan等人关于没有三角形平面图最小平衡二部划分的上界改进到(1)若δ(G)≥2或者g≤6,则G存在一个最小二部划分它的大小不超过[g(n-2/g-2]-n+2；(2)若δ(G)=1且g≥7,则G存在一个最小二部划分它的大小不超过[g(n-2/2(g-2)]-1.在第三章中,与文献[75]相反,我们研究的是最小二部平衡公平划分.对于n个顶点m条边的简单图G,我们用同样的方法证明了：(1)若G是k-正则图(k≥3),则G存在一个最小二部平衡划分V1,V2使得nin{e(V1),e(V2))≥(k-1)m/4k;(2)如果r是大于4的实数,且当n是偶数时,△(G)≤3r-4/r+4δ(G)-2r/r+4;当n是奇数时,△(G)≤3r-4/r+4δ(G)-8r/r+4.那么G存在一个二部平衡划分使得min{e(V1),e(V2)}≥m/r.在第四章中,我们将文献[54]中的关于最大二部平衡划分思想推广到三部平衡划分.对于m条边的图G,本章中我们证明了(1)若r为G中顶点不交的长为2的路的最大数目,则G存在一个三部平衡划分V1,V2,V3使得e(V1,V2,V3)≥2m+2r/3；(2)设r是一个实数且满足3≤p<6,则G有一个最大三部平衡划分V1,V2,V3使得max{e(V1),e(V2),e(V3))≤m/p.在第五章中,我们不再考虑最大三部平衡划分而是主要研究最小k-部平衡划分.当k=3,4时,我们分别给出e(V1,V3,…,Vk)的一个上界.更进一步,我们证明了m条边的图G(1)都有一个最小三部平衡划分使得e(V1,V2,V3)≤2m/3+[n/3]+1/3这里G中的任意三个顶点之间都至少有一条边；(2)都有一个最小四部平衡划分使得e(V1,V2,V3,V4)≤3m/4+3m2[N/4]+3/4,其中G中的任意四个顶点之间都至少有一条边.在文章的最后,我们给出几个可进一步研究的问题.
【作者】李海燕；
【导师】许宝刚；
【作者基本信息】南京师范大学，基础数学，2014，博士
【关键词】图；k-部平衡划分；公平划分；无三角形；平面图；

【参考文献】
[1]张国伟.高功率激光装置光学元件PSD1检测方法的研究[D].南京理工大学,光学工程,2013,硕士.
[2]鲁琳.CYP3A4/5及ABCB1基因多态性与肾移植术后早期FK506浓度及移植肾排斥中毒关系[D].复旦大学,肾内科,2012,硕士.
[3]孙宝传.关于媒体资产管理的初步调研[J].中国传媒科技,2005,08:55-57.
[4]王淼.微博上的城市形象传播[D].上海外国语大学,新闻学,2013,硕士.
[5]蒋志全.基于GMDH原理的自组织数据挖掘模型研究[D].大连海事大学,管理科学与工程,2004,硕士.
[6]马赟.中小跨径简支T形梁桥设计参数分析[D].长安大学,建筑与土木工程（专业学位）,2014,硕士.
[7]吴晓春.推进金融统计信息电子网络化的设想[J].现代金融,2004,04:46.
[8]额尔德木图.计算机辅助几何设计中若干问题的研究[D].大连理工大学,计算数学,2004,硕士.
[9]陈艳丽.贝尔凹陷基岩潜山裂缝发育规律与油气分布关系研究[D].东北石油大学,矿产普查与勘探,2013,硕士.
[10]陈建国,杨英杰,马范援.DMIDS:应用数据挖掘技术的网络入侵检测系统实现[J].计算机工程,2003,14:120-121+142.
[11]胡宇.甲亚胺叶立德合成螺杂环化合物的研究[D].苏州大学,有机化学,2012,硕士.
[12]林琳.基于.NET的社区户籍档案管理系统的设计与实现[D].吉林大学,软件工程,2013,硕士.
[13]方丽芳.上市公司股权激励对公司业绩影响研究[D].浙江理工大学,企业管理,2013,硕士.
[14]栾鲁民,吴晓峰,于海忠,车玉平,渠成明.莱钢数据制造执行系统的研究与应用[J].莱钢科技,2005,06:165-167.
[15]谢向宇.我国企业人力资源薪酬管理研究[D].华中师范大学,工商管理（专业学位）,2013,硕士.
[16]陈轶明.京航联监理公司内部风险管理体系构建的研究[D].中国地质大学（北京）,工商管理,2014,硕士.
[17]陆世云.民事检察监督程序实证研究[D].浙江大学,诉讼法学,2012,硕士.
[18]王永祯,王勇,刘志涛,蔡晓岚.石墨烯透明导电薄膜的合成与表征[J].中国有色金属学报,2014,07:1817-1822.
[19]熊浩,孙才新,张昀,谭志红,代姚.电力变压器运行状态的灰色层次评估模型[J].电力系统自动化,2007,07:55-60.
[20]董晓日.社会正义视角下新农合问题对策与研究[D].辽宁大学,行政管理,2012,硕士.
[21]王世昕.医药行业上市公司社会责任信息披露经济后果研究[D].安徽大学,会计学,2014,硕士.
[22]李璞.柔性太阳能电池电极制备[D].大连工业大学,材料学,2009,硕士.
[23]梁久祯,何新贵.有理式多层前馈神经网络[J].控制与决策,2004,03:349-350+354.
[24]马燕峰,刘伟东,赵书强.基于包络线拟合的低频振荡性质在线判别[J].电力系统自动化,2014,23:46-53+95.
[25]周贝贝.反应扩散方程的行波解及其最小传播速度[D].鲁东大学,应用数学,2013,硕士.
[26]徐耀增.电磁离心铸造热流磁耦合数值模拟[D].长安大学,机械设计及理论,2013,硕士.
[27]刘亚帆,刘桂芳.城市河道综合治理方案研究[J].河北水利.2006(06)
[28]李明.面向微博电影评论的情感分类研究[D].云南财经大学,计算机应用技术,2014,硕士.
[29]巩宪伟.曲面仿生复眼成像系统的研究[D].中国科学院研究生院（长春光学精密机械与物理研究所）,光学,2012,硕士.
[30]耿联.培育增长点，防“规划”揠苗助长[N].新华日报,2015-01-11001.
[31]原素梅.H.pylori相关性胃疾患H.pylori密度、cagA基因分布及对胃粘膜INOS和NF-κB表达的影响[D].山西医科大学,微生物学,2003,硕士.
[32]管鲁.《纽约时报》中有关中国经济报道的批评性话语分析[D].江苏科技大学,外国语言学与应用语言学,2013,硕士.
[33]吴为禄,李光伟,李振东,胡清波,李红苗.基于GIS的铁路遥感工程地质信息系统建立[J].铁路计算机应用.2001(09)
[34]孟超.顺应性，氧合，呼吸频率，呼吸用力（CORE）指数预测ICU患者脱机的临床研究[D].河北医科大学,急诊医学,2013,硕士.
[35]杨晓锋.多油楔滑动轴承动特性计算及其影响因素的应用研究[D].浙江工业大学,流体机械及工程,2012,硕士.
[36]周广胜,张新时.全球气候变化的中国自然植被的净第一性生产力研究[J].植物生态学报,1996,01:11-19.
[37]吴广学.变电站辅助设施与环境监控系统设计及实现[D].西安电子科技大学,计算机软件与理论,2011,硕士.
[38]刘亚平.单分散聚乳酸制备与性质研究[D].山东大学,应用化学,2013,硕士.
[39]夏吾端智.藏英语法比较研究[D].青海师范大学,中国少数民族语言文学,2012,硕士.
[40]李贺.自动上料毛巾折叠机的研究与设计[D].吉林大学,机械工程,2014,硕士.
[41]刘坛首.僵尸网络攻击模拟平台的研究与实现[D].西南交通大学,交通运输工程,2014,硕士.
[42]庄秀萍.基于OpenGL的球体碰撞虚拟仿真系统的设计与实现[D].东北师范大学,软件与理论,2012,硕士.
[43]刘媛.北京市回龙观3-6岁幼儿家庭亲子游戏开展现状及影响因素分析[D].北京体育大学,体育教育训练学,2013,硕士.
[44]杨阿庆.基于Canny理论的彩色图像边缘检测及评价[D].兰州理工大学,计算机应用技术,2013,硕士.
[45]赵晨红.UniFedSBR工艺脱氮除磷特性及其自动控制研究[D].北京工业大学,2008.
[46]张俊丽.耕作和施氮措施下旱作夏玉米田土壤呼吸与土壤碳平衡研究[D].西北农林科技大学,作物栽培学与耕作学,2014,博士.
[47]杨梖,白雪,顾海鑫.磁性吸附材料的制备及其在污水处理中的应用[J].环境工程,2015,04:25-29+38.
[48]冯国斌.空中目标靶上强激光光斑参数测量技术[D].西安电子科技大学,光学工程,2014,博士.
[49]薛星宇.江苏盐城海滨湿地遥感分类与景观变化研究[D].南京师范大学,地图学与地理信息系统,2012,硕士.
[50]钟巧珍.中船重工造船企业技术性知识产权的开发方式选择研究[D].江苏科技大学,技术经济及管理,2014,硕士.