几类无穷维哈密顿系统的保结构算法研究

【摘要】许多物理领域中的偏微分方程都可以看做是无穷维的哈密顿系统,而对哈密顿偏微分方程系统构造稳定的数值算法一直是数值分析领域中的一个挑战.众所周知,辛算法可以很好的模拟哈密顿常微分方程系统.作为辛算法的一个推广,多辛算法在哈密顿偏微分方程局部的守恒律的保持上有很好的表现,因此可以保证对原问题长时间的有效模拟.在该论文中,我们进一步的研究了多辛算法.基于不同的方程及解的性态,我们分别构造了一系列的多辛格式,分析了其相关的一些性质,数值模拟验证了多辛算法的有效性以及对原问题不变量的保持情况.经典的Crank-Nicolson格式能够很好的模拟非线性薛定谔方程.然而很少有入把它和辛几何算法联系起来.我们从线方法的角度,证明了该格式是辛格式.用复合方法以及变分积分子的思想,我们进一步证明该格式还是多辛格式.从而很好的解释了该格式为何会具有这么好的性态.我们还证明了该格式满足离散的质量守恒律并给出了收敛性的理论分析.与多辛Preissmann格式的数值比较显示了Crank-Nicolson格式的优越性.考虑三维麦克斯韦方程,我们构造了一个半显的多辛Euler-box格式并给出了其具体算法.我们证明该格式不仅能够保持离散的局部能量和全局能量,还能保持离散的散度守恒.进一步,我们从数值色散的角度,分析了该格式的一些性质.作为b族方程的一员,Degasperis-Procesi方程具有很多几何特性.基于保结构算法的思想,我们构造了两个数值积分子.从双哈密顿系统出发,我们构造了一个辛拟谱格式,该格式可以模拟尖波解.为了模拟激波解,我们用分裂方法的思想构造了一个分裂格式,该格式可以模拟原方程的所有解.数值实验比较了这两种格式的适用性
【作者】蔡文君；
【导师】宋永忠；王雨顺；
【作者基本信息】南京师范大学，计算数学，2014，博士
【关键词】无穷维哈密顿系统；辛算法；变分积分子；多辛格式；拟谱方法；激波解；

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