关于四维近复流形上的若干问题

【摘要】假设M是一个实的偶数维微分流形.M上的一个近复结构J就是其上的一个(1,1)型光滑张量场并且满足J2=-1.我们称(M,J)是一个近复流形.在第一章中,我们介绍了近埃尔米特几何.在章节1.1中,我们给出了近复流形M的复化切丛的分解,该分解是根据近复结构J的特征值土i给出的.同时我们给出了近复流形上外微分算子d的分解.我们介绍了两个很重要的几何量ηc和ηh.由Newlander-Nirenberg在([72])中的理论,我们知道近复结构J可积当且仅当ηc三0.一个近埃尔米特流形(M,g,J,F)称作为是Kahler的如果满足△gF=0,或者等价的η=0.在章节1.2中,我们介绍了近埃尔米特联络.M上的一个线性联络△称作是一个近埃尔米特联络如果满足△J=△9=0.由Gauduchon在[38]中的工作,人们可以定义典则联络.我们知道在每一个近埃尔米特流形(M,g,J,F)上都存在唯一的一个近埃尔米特联络△使得它的挠率(?)满足(?)1,1=0,即存在唯一的第二典则联络.在章节1.3中,我们学习了典则联络的曲率.在第二章中,我们研究了J反变上同调群.在章节2.1中,我们介绍了紧致的辛流形(M,ω)上的上同调.类似于Hodge算子,由辛结构ω,Brylinski定义了辛算子*ω:Qk(M)→Q2n-k(M).J.Brylinski在[12]中引进了辛调和形式.进一步,J.Brylinski猜测每一个deRham上同调类中都含有一个辛调和形式作为代表元.OlivierMathieu在[68]中否定了Brylinski的猜测.事实上,Mathieu证明了每一个deRham上同调类中含有一个辛调和形式作为代表元当且仅当该辛流形满足hardLefschetz性质.我知道在deRham上同调类中不能保证辛调和形式的存在性,即使存在也不能保证它的唯一性.这就致使我们认为在deRham上同调群上不适合考虑Hodge理论.所以Tseng和Yau就引入了新的辛上同调群Hd+dAk(M)和HddAk(M).我们学习了Hd+dAk(M).和HddAk(M)的有关性质.在章节2.2中,我们研究了J不变和J反变上同调子群HJ+(参见[63]).假设(M,g,J,ω)是一个闭的近Kahler2n流形.我们引进了M上Ω02上的二阶线性微分算子PJ(参见[83]).通过计算PJ的主征,我们得到PJ是一个自伴随的强椭圆算子.我们得到如果有dimkerPJ=b2-1,那么J是C∞pure和full的.另外,我们研究了J反变上同调群和Hd+dAk(M),HddAk(M)之间的关系.在章节2.3中,我们计算了J反变上同调群HJ的维数.记hJ为巧的维数.我们得到如果M是一个闭的4维近复流形,那么M上满足hJ=0的所有近复结构是J∞(赋予C∞拓扑)的一个稠密的开子集.在第三章中,我们研究了驯化的四维流形.在章节3.1中,我们重新描述了Donaldson的驯化相容问题：假定(M4,J)是一个紧致的近复4维流形,如果J被某一个辛形式ω驯化,那么是否存在一个辛形式Ω与J相容?当J可积时,以上的问题是显然的.事实上,我们知道在一个闭的复曲面(M,J)上,以下三个命题等价：(i)b1是偶数；(ii)b+=hJ+1;(iii)J被某一个辛结构驯化.我们知道一个闭的复曲面如果满足b1是偶数那么它是Kahler的,这便是著名的Kodaira猜测.注意到如果(M,J)是闭的驯化的近复4流形,那么有0≤hJ≤b+-1([81]).因此如果b+=1,那么有hJ=b+-1=0.所以,Donaldson问题(特别当b+=1时)可以看成Kodaira猜测在驯化的近复四维流形上的推广(参见[26]).在章节3.2中,我们研究了弱dJ闭(1,1)形式.我们的方法沿用Buchdahl在[15]中证明Kodaira猜测的方法Buchdahl在[15]中给出了Kodaira猜测的一致证明.我们得到了一个很重要的引理,也就是引理3.31,该引理与[15]中的引理7类似.但我们这里是J不可积情形.引理3.31在下一节中将会起到至关重要的作用.在章节3.3中,我们研究了满足hJ=b+-1的驯化的近复四维流形.当驯化的四维流形满足hJ=b+-1时,我们给出了Donaldson问题的一个肯定回答.
【作者】谈强；
【导师】王宏玉；
【作者基本信息】扬州大学，基础数学，2014，博士
【关键词】近复流形；近埃尔米特流形；近Kahler流形；近埃尔米特联络；典则联络；辛上同调；HardLefschetz；J不变上同调；J反变上同调；C~∞pure；C~∞full；ω-驯化(相容)的近复结构；正定的(1,1)型流；局部辛性质；J全纯曲线；Donaldson问题；

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