Q变形李代数在物理中的应用

【摘要】杨-巴克斯特方程是杨振宁先生和Baxter先生分别在研究一维量子可积模型和二维量子统计模型时建立起来的。杨-巴克斯特方程建立之后，量子可积模型的相关研究得到了很大的发展。近年来，杨-巴克斯特方程被运用到了量子信息，量子计算，量子纠缠和量子传输等方面。杨-巴克斯特方程解常用的有三种形式：有理解，三角解，椭圆解。三角解通过求解RTT关系，可以得到XXZ模型的哈密顿量形式，XXZ模型可以看出q变形的XXX模型，当XXZ模型中的参数q=1时，XXZ模型退化为XXX模型。当给定杨-巴克斯特方程解为某个三角解时，通过RTT关系求解矩阵，而包含的代数就是量子代数。Sklyanin最先在核物理上意识到量子代数是李代数的q变形，Kulish和Reshetikhim在1981年独立研究杨-巴克斯特方程时也发现了量子代数的结构，经过几年后，Drinfeld和Jimno等人将量子代数归入霍夫代数。量子代数的结构通过参数q来调整，当q退化为1时，量子代数退化为李代数。本篇论文是以杨-巴克斯特方程及其相关理论为基础，q变形理论为中心展开的。本文包括五章，主要内容如下第一章，主要介绍了研究的背景知识，包括杨-巴克斯特方程的起源和发展以及相关的李代数，量子代数，Berry几何相和拓扑基的简单介绍。第二章，主要研究了周期性边界条件下的XXZ自旋链模型，建立了Temperley-lieb代数生成元与XXZ模型之间的关系。由Temperley-lieb代数生成元，我们构造了一组（16个）拓扑基，利用这组拓扑基可以将Temperley-Lieb代数生成元约化为四个不同子空间表示，且每个子空间表示都满足Temperley-lieb代数关系。最后利用这组拓扑基表示出4个自旋粒子XXZ链模型的16个本证态。第三章，我们研究了在扭转的边界条件下，XXZ模型的性质和相应的拓扑基的表示。由周期性边界条件变为扭转边界条件后，XXZ模型的基态不再是唯一的，会随着扭转角度的变化，基态在和之间交替出现，而且所有的本征态都是最大纠缠态。通过Temperley-lieb代数生成元U所构成的拓扑基，将扭转边界条件的XXZ模型的本征态表示出来。第四章，我们研究了自旋系统在q变形磁场中的Berryphase。主要是通过改变磁场中参数q的值来达到调节Berryphase的目的。当时，参数空间所对应的布洛赫球变为椭球，相应的Berryphase也发生了变化。当，Berryphase保持不变。我们首先研究了在q变形磁场中两个自旋1/2粒子系统的哈密顿量，得到系统的Berryphase，发现该Berryphase是两个自旋1/2粒子在旋转磁场系统Berryphase的q变形。之后我们利用q变形李代数和磁场构造出相同的哈密顿量，即。在理论上给出了实现量子代数系统的方式。第五章，我们将上一章的q变形Berryphase推广到任意自旋j系统进行研究，从而找到相应的变形磁场与变形Berryphase。通过自旋1/2,1,3/2系统的研究，我们定义了任意自旋j系统的哈密顿量，根据规律找到了q变形磁场和变形Berryphase的通式。之后，我们利用满足杨-巴克斯特方程的WignerD函数构造杨-巴克斯特系统哈密顿量，经过对参数q变形后，得到了之前定义在旋转磁场的自旋j粒子系统的哈密顿量。并给出了任意自旋j系统对应的q变形Berryphase通式。最后为全文的总结和展望。
【作者】都桂娇；
【导师】薛康；
【作者基本信息】东北师范大学，凝聚态物理，2014，博士
【关键词】Yang-Baxter方程；李代数；量子代数；Berry几何相；拓扑基；

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