二维漂移波湍流的钉扎控制

【摘要】漂移波是磁约束等离子中的一种宏观不稳定性,其由系统不均匀性(存在密度梯度或温度梯度)引起。漂移不稳定性非线性发展而产生的漂移波湍流可引起横越磁场的反常输运,导致系统能量损失。因此,研究漂移波湍流的控制,对提高约束效率有重要意义。基于前人对时空混沌控制的研究,特别是对一维漂移波湍流和二维流体湍流的成功钉扎,我们提出了Hasegawa-Mima方程描述的二维漂移波湍流的钉扎控制。本文的主要内容包括三部分：第一部分,我们介绍了二维漂移波湍流的均匀钉扎控制。此时,反馈信号中控制强度为一常数,目标态为系统的一个不稳定解。我们首先从数值模拟上验证了该控制方法的有效性,然后定性研究了控制信号的参数选取对影响控制效果的影响,结果表明：(1)目标态确定时,存在一个临界控制强度使得控制强度大于临界控制强度时,湍流系统可被完全控制到目标态。(2)控制强度增大或目标态波数减小时,控制效果变好。为了解释上述的数值模拟结果,我们从理论上做出了分析：运用扰动的简正模分析方法,把系统电势在目标态附近做扰动展开,得到扰动电势随时间演化的方程,并分析湍流被控制到目标态后的稳定性(扰动不随时间增长时,系统稳定)。扰动电势演化方程中包含其与目标态的耦合项,通过熟悉的模耦合方法(对耦合系统做出截断),考虑三波(两个扰动模和目标态)耦合,我们可以得到两个扰动模的演化方程,进而得到扰动电势增长率与扰动波数与目标态模数的关系。系统稳定时,扰动增长率小于等于零,又可以得到临界控制强度与扰动波数和目标态模数的关系。考虑系统所有扰动模并取极值,我们可以得到临界控制强度与单一变量目标态模数的关系表达式。这个表达式不仅可以解释之前的数值结果,其正确性又被数值模拟证实。最后,我们介绍了漂移波湍流控制的暂态过程及部分控制。根据临界控制强度与扰动波数的关系,可以知道,随着控制强度增加,中心区域(长波即波数小的区域)的扰动模先被抑制,然后才是四周区域(短波区域)。给定控制强度大于临界控制强度,可以看到不同时间扰动模被抑制的情况,于是我们看到了湍流被抑制的暂态过程：从中心区域(长波即波数小的区域)扩散到四周区域(短波区域)。考虑到实验中对漂移波湍流控制时采用的多为不均匀控制信号,我们在第二部分介绍了漂移波湍流的不均匀钉扎控制。与均匀钉扎信号相比,这里采用的控制信号在空间上有一个正弦分布。我们依然先从数值模拟上研究了该控制方法的可行性以及控制参数选取对控制效果的影响。结果表明：(1)该方法可以把湍流控制到目标态；(2)固定目标态,描述不均匀性的参数：控制信号的振幅和波数,会对控制效果产生影响,且随着控制波数的增大和振幅的减小,控制误差减小,控制效果变好。为了解释上述结果并了解外部控制信号与漂移波湍流内部模式间的耦合关系,理论上,我们把控制系统放到傅里叶空间进行分析。把系统方程放到傅里叶空间后,我们得到一系列耦合方程组,其中包括漂移波湍流内部模式间的耦合,也包括外部控制信号和内部模式间的耦合。为了直观的描述的这些耦合关系,我们绘出一幅网状图,图中一个点代表一个模式,连接点间的线段则表示它们之间的耦合,而点和线段的颜色分别表示模式的性质(内部模还是外部控制信号)和耦合关系。湍流被抑制,意味着漂移波湍流中除去与目标态波数相同的模,其他模都被抑制。考虑到上述结果,我们可以在表示耦合关系的网状图上做截断,只截取我们关心的与目标态等模数模附近的网络且力争包括尽可能多的耦合关系。于是,我们可以得到一个简化的网络图,且可以从该图出发研究控制参数对控制效果的影响。我们发现,简化模型得到的结果与数值模拟得到的趋势一致(控制误差随控制模数的增大和振幅的减小而变小),并从控制参数对漂移模增长率的影响解释了该结果。本章最后,我们介绍了不均匀控制方法的一种极端形式—局域钉扎控制,控制信号的分布采用的是二维空间的方波。我们研究了该情况下控制参数对控制效果的影响,得到与不均匀控制一致的结论。最后一部分,我们研究了用运动反馈控制方法来控制二维漂移波湍流。所谓运动反馈控制,是指控制信号不是静止的,其有一运动速度。在此,我们采取的控制信号强度为沿二维传播的正弦波,其传播速度为ω0/k0(ω0为角频率,k0为波数)。直接数值模拟结果表明,运用运动控制信号可以达到控制湍流的目的,且与静止控制信号相比,其在很大范围内可以提高控制效率。定性研究发现,控制误差随控制信号角频率ω0变化并不是单调的,有一个很小范围的增长过程。为了解释该现象并研究控制机制,我们在把控制系统方程放到傅里叶空间进行研究,并得到了一系列模耦合方程组。借鉴上一章模耦合研究中提出的网络模型,并且做出截断,得到简化网络。通过简化网络,我们可以得到控制信号中角频率通过影响简化系统中决定性模的增长率来最终影响控制效率。对于控制误差与角频率非单调关系问题,我们也试着给出了初步解释。通过改变参数,我们研究了不同情况下控制误差与角频率关系图上最高点的位置。定量研究发现该位置对应的角频率与简化系统中决定性模间的频率差相等。由此,我们断定,应该是模之间的共振耦合导致控制误差有上升趋势。
【作者】刘盼盼；
【导师】王新刚；
【作者基本信息】浙江大学，等离子体物理，2014，博士
【关键词】漂移波湍流；钉扎反馈控制；控制误差；相对控制误差；目标态；临界控制强度；运动反馈控制；

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