非协调有限元方法新模式及超收敛研究

【摘要】本文针对两类四阶变分不等式、非线性反应扩散型四阶奇异摄动方程、二阶椭圆方程、非线性sine-Gordon方程以及Stokes方程,从非协调Galerkin-有限元方法、协调和非协调混合元方法、修正加罚和各向异性有限元方法等不同角度出发深入系统的研究了其新模式的构造、理论分析(诸如收敛性、超逼近和整体超收敛现象)以及数值试验.首先,我们讨论了双边位移障碍下固支板问题的双参数非协调元方法.双边位移障碍下固支板问题对应于一类四阶变分不等式,H4正则性的缺失是导致有限元方法收敛性分析和误差估计的主要困难.作为尝试,我们首次提出了使用既能保证收敛性又计算简便的双参数非协调元来求解该问题.以一个总体自由度与Zienkiewicz元相同且对任意剖分均收敛的九参数双参数非协调元(Veubeke-Zienkiewicz)为例,通过引入连续和离散障碍问题之间起桥梁和纽带作用的辅助障碍问题,并巧妙地构造出从非协调元到一个相应熟知的协调元空间的扩展算子,得到了能量模意义下最优误差估计,并最终建立了双边位移障碍下固支板问题的双参数非协调元的一般格式.其次,针对曲率障碍下一个四阶变分不等式研究了其各向异性非协调元逼近.由于曲率障碍下四阶变分不等式求解区域是与曲率有关的凸集,并不是所有的有限元逼近都能保证解的收敛性.寻找既满足各向异性特征又能保证收敛性的非协调元是问题的难点所在.幸运的是,我们通过仔细分析发现矩形Morley元插值函数的二次部分具有各向异性特征且满足一个重要的平均值性质.从而结合函数分裂方法,首次在各向异性网格上得到了最优阶误差估计.再次,研究了extendedFisher-Kolmogorov方程(简称EFK方程)的非协调元方法.EFK方程是一个非线性时间依赖反应扩散型四阶奇异摄动方程.现有的文献只局限对正则网格上的C1-协调元分析.然而由于C1-协调元构造复杂且自由度较大,正则性条件严重制约了对解的边界层或内层效应的处理.我们首次考虑将非协调元用于求解EFK方程并尝试将收敛结果推广到各向异性网格.其主要思路是:第一步,构造李雅普诺夫(Lyapunov)函数并借助Sobolev嵌入定理,通过引入新的技巧证明了半离散和欧拉全离散格式解的存在唯一性并对非线性项进行了误差估计.第二步,直接利用插值算子、积分恒等式、导数转移技巧和Gronwall不等式得到了半离散和欧拉全离散格式在能量模意义下关于摄动参数的一致收敛性结果.通过进一步分析,我们最终建立了C0非协调板元对EFK方程的一致收敛定理.特别地,对于双参数C0非协调元逼近给出了具体误差估计.同时,我们还进行了数值实验,数值结果与理论分析是完全吻合的.最后,我们探讨了四类偏微分方程新混合元模式的超收敛分析.(I)对于二阶椭圆问题,利用带约束的非协调旋转Q1元和分片常数元构造了一个新的矩形网格上自由度最少的混合元格式.利用积分恒等式技巧、弱BB条件和插值后处理算子,得到了其超逼近性质和超收敛结果.数值实验的结果进一步说明了该格式的有效性.(II)研究了非线性sine-Gordon方程的任意四边形非协调元（修正的类Wilson元）离散格式,利用相容误差比插值误差高两阶的特殊性质,并借助于Riesz投影和广义矩形网格下插值函数协调部分的高精度分析,采取与以往文献不同的新技巧,得到了任意四边形网格下Crank-Nicolson全离散两层混合元格式的最优阶误差估计,以及广义矩形网格下的超逼近性质和矩形网格下的超收敛结果.数值实验验证了理论分析的正确性.(III)对于EFK方程,分别利用插值算子和Riesz投影算子两种不同的方法,借助于积分恒等式技巧和插值后处理算子给出了在两种不同边界条件下双线性混合元半离散和欧拉全离散格式的超收敛分析.在此基础上,我们建立了对这两种边界条件均适用的各向异性线性元(双线性元)超收敛分析的新模式,该模式利用单元的各向异性特征和积分恒等式结果,先给出Riesz投影的各向异性误差估计(这一结果是前所未有的,因为到目前为止,只有关于插值算子的各向异性特征的判别条件,而没有关于如何判别Riesz投影算子的各向异性特征的报道),再根据插值与Riesz投影之间的估计得到超逼近性质,最后由插值后处理算子导出半离散和欧拉全离散格式在各向异性网格下单独利用插值或者Riesz投影所无法得到的超收敛结果.数值实验的结果与理论分析相一致.(IV)对于Stokes方程,我们提出将修正加罚有限元方法和L2投影方法相结合的思想,首次对由Crouzeix-Raviart型非协调线性三角形元和分片常数构成的修正加罚混合元格式得到了速度和压力的超收敛结果.该方法选取较大的罚参数就能得到较高的收敛阶,能有效地避免因使用小参数而导致的算法不稳定问题,这是传统的加罚有限元方法所无法比拟的,数值实验证明了理论分析的正确性.
【作者】裴丽芳；
【导师】石东洋；
【作者基本信息】郑州大学，基础数学，2014，博士
【关键词】四阶变分不等式；非线性方程；非协调元；双参数法；混合元法；各向异性；插值和投影算子；误差估计；超逼近及超收敛；

【参考文献】
[1]王慧娟.内蒙古自治区老干部活动中心文化建设研究[D].内蒙古师范大学,社会工作（专业学位）,2012,硕士.
[2]景洪.初级汉语水平韩国留学生使用汉语介词偏误研究[D].中央民族大学,语言学及应用语言学,2004,硕士.
[3]郎保才.MIMO系统联合天线选择算法研究[D].重庆大学,通信与信息系统,2014,硕士.
[4]贺连科,张周宜,孙莉萍.液压胀管力的计算与实现[J].一重技术.1997(04)
[5]薛力园.现代黄河三角洲北部地区晚更新世以来沉积环境演化[D].中国地质大学（北京）,海洋地质,2014,硕士.
[6]王宇.外宣翻译中的“重写”策略研究[D].天津理工大学,英语笔译,2013,硕士.
[7]高雅琳.《轻松学中文》语法项目选用与编排分析[D].广西师范大学,汉语国际教育,2014,硕士.
[8]常兰,秦伟超.酸性品红在石墨烯上的吸附平衡和吸附动力学研究[J].水处理技术,2014,07:16-19.
[9]周文珊.主动配电网建模及谐波特性研究[D].北京交通大学,2012.
[10]夏娟.食饵种群具有常数投放的Beddington-DeAngelis型捕食模型的定性分析[D].华中师范大学,应用数学,2013,硕士.
[11]刘晓蕾.高频热声振荡器的协同行为研究[D].华中科技大学,制冷及低温工程,2013,硕士.
[12]陈俊杰,黄惟一,宋爱国.机器人与环境接触的动力学特性[J].控制与决策,2002,01:57-60.
[13]张建友,牛记者,郐鹏,郑俊,丁玉庭.复合亲水胶体对带鱼鱼糜制品凝胶特性的影响[J].食品工业科技,2012,17:54-57.
[14]施洋.我国旅游企业导游员在职培训研究[D].北京交通大学,2013.
[15]董旭,魏振军.一种加权欧氏距离聚类方法[J].信息工程大学学报,2005,01:23-25.
[16]雷宇霆.机动车侵权损害赔偿社会化研究[D].华中科技大学,民商法,2013,硕士.
[17]田粟源.电影版权评估研究[D].山东财经大学,会计（专业学位）,2014,硕士.
[18]王志敏.流动人口社会融合的现状研究[D].中国社会科学院研究生院,社会政策（专业学位）,2014,硕士.
[19]张栋,蔡开元.模糊推理的函数变换观点[J].控制与决策,2002,05:595-598+603.
[20]王灵钰.关于网络语言模因现象的顺应性研究[D].西北师范大学,外国语言学及应用语言学,2013,硕士.
[21]缪晨晨.我国企业海外R&D投资的区位选择研究[D].南京财经大学,国际贸易学,2012,硕士.
[22]袁世涛.基于计算机视觉的手势识别系统研究[D].西安电子科技大学,计算机应用技术,2011,硕士.
[23]桂林.我国高等院校学前教育专业本科生培养方案研究[D].西南大学,学前教育学,2013,硕士.
[24]陈朋.模块化多电平换流器控制与保护的研究[D].青岛科技大学,控制理论与控制工程,2012,硕士.
[25]杨玉龙.煤岩体采动破坏电位响应特征规律研究[D].中国矿业大学,安全技术及工程,2014,硕士.
[26]武同华.中国13个粮食主产区的比较优势及影响因素分析[D].南京财经大学,区域经济学,2012,硕士.
[27]徐福新,许永明.小灵通短消息业务[J].中国数据通信.2004(03)
[28]王建新.施工顺序对悬索桥颤振影响研究[D].西南交通大学,桥梁与隧道工程,2014,硕士.
[29]赵明.A公司招聘体系优化设计研究[D].大连理工大学,MBA（专业学位）,2013,硕士.
[30]王硕儒,曾光辉,于增慧.物探异常换算的一种高精度法──局部坐标样条函数法[J].石油地球物理勘探,1996,05:693-698+750.
[31]于琦.青岛地区献血员人疱疹病毒6型和7型感染的调查[D].青岛大学,病原生物学,2003,硕士.
[32]陈敏.我国商业银行绩效评价浅析[D].安徽大学,应用统计,2014,硕士.
[33]祁锁锋.公益文化活动中的政府行为研究[D].西北大学,公共管理（专业学位）,2014,硕士.
[34]冯姝.新疆慕萨莱思酵母菌分离鉴定及优势菌遗传多样性分析[D].塔里木大学,生物化学与分子生物学,2013,硕士.
[35]任亚男.TBX2、PAX9在卵巢上皮性癌中的表达及临床意义[D].河北医科大学,妇产科学,2014,硕士.
[36]张丽美.利用菌糠生产益生菌制剂适宜发酵条件的研究[D].东北农业大学,动物营养与饲料科学,2013,硕士.
[37]常迎杰.数控滚齿机结构广义动态优化设计与研究[D].兰州理工大学,机械制造及其自动化,2014,硕士.
[38]张迷,陈元平,张再兰,欧阳滔,钟建新.堆叠石墨片对锯齿型石墨纳米带电子输运的影响[J].物理学报,2011,12:494-501.
[39]刘君强,孙晓莹,王勋,潘云鹤.挖掘最大频繁模式的新方法[J].计算机学报,2004,10:1328-1334.
[40]胡珊.化脓性链球菌htrA与蛋白分泌相关性初步研究[D].西南交通大学,微生物与生化药学,2013,硕士.
[41]肖俊.纳米非稳态氧化物的制备及催化性能研究[D].南京理工大学,材料工程,2013,硕士.
[42]施建华.基于WEB的GIS应用技术研究[D].南京航空航天大学,交通信息工程及控制,2004,硕士.
[43]周涛.因宁片的急性毒性和长期毒性实验及甲亢性肝损害的临床因素分析[D].南方医科大学,药剂学,2012,硕士.
[44]叶宇.面粉制造企业核心竞争力研究[D].广东工业大学,企业管理,2004,硕士.
[45]李小笑.论农村宅基地使用权的流转[D].北方工业大学,法律,2014,硕士.
[46]李鹤.霍加拉特催化剂上乙烯催化燃烧动力学的研究[D].天津大学,工业催化,2013,硕士.
[47]朱敏圆.机构投资者的异质性对企业真实盈余管理水平的影响研究[D].浙江工商大学,会计学,2013,硕士.
[48]芦春江.网宿公司股票期权激励案例研究[D].厦门大学,工商管理,2014,硕士.
[49]张娟.不同期限类型劳动合同的工资效应[D].吉林大学,数量经济学,2014,硕士.
[50]陈靖华,屠宝锋.总压畸变对压气机气动稳定性影响的整环数值模拟[J].推进技术,2015,05:1.