分数阶偏微分方程的配置方法及其理论分析

【摘要】分数阶偏微分方程能非常有效地描述各种各样的物质的记忆和遗传性质,在物理、数学、生物、电子工程、机械工程和金融等领域发挥越来越重要的作用。然而,分数阶偏微分方程的解析解是比较复杂的,多数的解还不能显示的表示出来。这就促使我们必须考虑有效的数值方法。本文提出两种配置方法来求解现实生活中经常出现的分数阶微分方程,分别是拟小波配置法和正交样条配置法。全文共五章,其中第二、三、四章注重介绍作者的研究工作,其主要内容分别如下：第二章,对于实际中出现的时间分数次偏微分方程,我们首次采用拟小波方法进行数值求解。拟小波思想的主要来源于Mallat的多尺度分析。我们知道,任一的小波子空间都可以由一组正交规范化小波基生成,且正交规范化小波基又有自身对应的正交规范化尺度函数,然而一般的正交规范化尺度函数的傅里叶变换是不连续的。为了改善正交规范化尺度函数的这个局限。我们对它进行正则化处理,这就是拟小波思想的主要来源。本章我们利用二阶向后差分方法进行时间导数离散,空间方向则采用拟小波配置方法。我们也严格证明了时间半离散格式的稳定性和收敛性。最后,我们提供一些数值算例,并数值验证了给出的数值方法是可行而且有效的。除此之外,我们给出了带两个记忆项的积分微分方程的离散格式以及相应的数字算例。第三章,对于时间分数次Fokker-Planck方程,我们提出和分析一种新颖的方法进行数值求解。在给出的方法中,我们采用正交样条配制方法进行空间离散。基于Caputo导数的L1估计,我们时间方向采用向后Euler方法进行离散。同时,我们给出了数值方法的稳定性和收敛性结果,其收敛阶为O(τ2-α+hr+1)。这些理论性结果我们都给出了相应的数值例子进行验证。除此之外,我们从数值结果也能观察给出方法的超收敛性质,也就是,当多项式次数为r=3时,节点处导数的误差收敛阶近似为4。第四章,对于二维分数次Cable方程,我们采用离散时间正交样条配置方法进行求解。给定的方法采用正交样条方法离散空间导数,时间方向采用有限差分方法。同时,我们也验证了这个方法是无条件稳定的,并给出了收敛性分析,即,对Hk,(k=0,1)模,其收敛阶为O(Tmin|(2-γ1,2-γ2)+hr+1-k),其中τ,h和r分别为时间步长、空间步长和多项式次数,而γ1和γ2为两个分数阶导数的次数且0<γ1,γ2<1。为了验证我们的理论分析,我们给出了数值算例。从数值结果可以发现,给定的方法是有效的且与我们的理论分析一致。同时,数值结果也体现了正交样条配置方法的超收敛现象,也就是,Ux和uy的节点处最大模误差的收敛阶近似为hr+1。图3幅,表18个,参考文献154篇。
【作者】张海湘；
【导师】韩旭里；
【作者基本信息】中南大学，应用数学，2014，博士
【关键词】分数阶偏微分方程；正交样条配置法；拟小波配置法；有限差分方法；稳定性；收敛性；收敛阶；

【参考文献】
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