生成于四种流形上的大维随机矩阵的谱分布

【摘要】近几十年来,数学、统计、物理、通信、生物等众多科学学科与工程学科都发现随机矩阵理论越来越有价值,新的随机矩阵的理论与应用结果也几乎每天都在出现.由于它的灵活性,普适性,可预测性以及丰富的数学结构,使得随机矩阵的研究吸引着国际上一批数学及其他学科的科研人员投入其中.这个引入瞩目的多学科交叉领域的理论研究也渐趋成熟.随机矩阵理论的主要研究对象是随机矩阵的特征值与特征向量的各种统计性质.从发源于数据分析中的经典Wishart矩阵系综到应用于重核原子的Wigner矩阵系综,随机矩阵理论都是伴随着各学科应用方面的需求逐渐发展起来的.而在这些研究过程中,发现了诸多普适性规律,即这些规律不依赖于矩阵元素的具体分布,只与矩阵的结构相关,如Wigner的半圆律、Marcenko-Pastur分布以及Girko的圆律等整体谱现象.还有一些局部谱分布如Tracy-Widom分布、sine核分布等等,这些分布在随机矩阵理论中的作用,在某种意义上,类比于正态分布在经典极限理论中的位置.它们并不依赖于具体的矩阵系综,且它们同样在随机矩阵理论之外的其他数学、物理模型中普遍存在.在本文中,我们将研究三种随机矩阵模型：“样本-协方差”类型的随机矩阵、欧几里得随机矩阵以及随机内积核矩阵.它们在多元统计以及统计物理中都具有非常重要的作用,且后两类随机矩阵在高维环境下,也是最近几年才开始投入研究.不同于经典随机矩阵理论中的矩阵模型,如Wigner矩阵系综、样本协方差矩阵以及Ginibre矩阵系综等,我们研究的随机矩阵是在不同的元素相依环境下进行研究的.且上述三类随机矩阵系综主要生成于四种规则流形上lp范数均匀分布的随机点,这四种流形分别是单位lp超球体,单位lp超球面,lp超椭球体以及lp超球面.同时对于随机内积核矩阵,我们还分析了较一般的情形：它们的随机向量具有各向同性和对数凹分布,并且证明了Do和Vu提出的一个猜想.随机矩阵的经验谱性质是研究随机矩阵的一个主要方向,它也是研究矩阵的其他谱性质的前提和基础.对于来源于以上几种数据的三类随机矩阵模型,在两种高维环境下,我们分别研究了它们的经验谱分布,并且得到了具体的收敛极限.具体而言,在不同的样本来源下,随着样本数目n逐渐趋于无穷大,n/N收敛到某个非零常数时(其中N表示样本维数),我们分别得到了关于矩阵列向量的Gram矩阵,大维欧几里得随机矩阵以及随机内积核矩阵的极限谱分布；而在n/N→0这种同样非常具有统计意义的高维环境下,我们通过规范化样本协方差矩阵,欧几里得随机矩阵以及随机内积核矩阵,我们得到了与著名的Wigner的半圆律相关的极限谱分布.我们的方法是把我们研究的随机矩阵模型与经典的随机矩阵系综相联系,运用概率理论以及经典随机矩阵理论中的结论,得到了本文的主要结果,这些结果的获得需要对四种流形上的随机向量进行大量、冗长的估计.其中对于欧几里得随机矩阵和随机内积核矩阵,我们通过利用Taylor展开,把原矩阵分解成几个互相独立的矩阵的和,然后利用四种流形上lp范数均匀分布的随机向量或者是具有各向同性和对数凹分布的向量的统计性质,以及经典随机矩阵理论中已经建立的论据,得到了本文中的主要结论.
【作者】曾杏元；
【导师】侯振挺；
【作者基本信息】中南大学，数学，2013，博士
【关键词】欧几里得随机矩阵；随机内积核矩阵；四种流形；对数凹分布；经验谱分布；

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