基函数中带形状参数的几何造型理论与方法研究

【摘要】构造带形状参数的基函数是近年来计算机辅助几何设计中的一个热门研究课题,有重要的理论意义和广阔的应用前景。本文分别在新的拟三次代数函数空间和拟三次三角函数空间中运用开花方法构造带两个指数形状参数的拟三次Bernstein基和拟三次三角Bernstein基。在此基础上,分别构造两组带两个局部指数形状参数的拟三次非均匀B样条基和拟三次三角非均匀B样条基。所构造的基函数具有单位性,非负性,线性无关性和全正性等重要性质。引入的指数形状参数具有张力作用效果,对所生成的曲线曲面形状具有明确的几何调控意义。传统的样条基只能生成逼近曲线或插值曲线,本文构造了一组既可生成逼近曲线也可生成局部插值或整体插值曲线的拟四次三角非均匀B样条基。保形插值样条在工业设计和科学数据可视化中具有重要的研究价值,在过去三十年中一直受到学者的广泛关注。但在已有的c2连续保形插值样条中,有些方法只能保单调性,有些方法只能保凸性,而且为了获得c2连续的样条,大多数方法需要求解样条在节点上满足二阶连续性的线性方程组,本文构造了一类可自动达到c2连续的四次有理保形插值样条基。本文的主要研究工作及成果如下：(1)在拟三次代数函数空间Span{1,3t2-2t3,(1-t)α,tβ}中运用开花方法构造了一组带两个指数形状参数的拟三次Bernstein基。基于新提出的拟三次Bernstein基,构造了一类带两个局部指数形状参数的拟三次非均匀B样条基。此外,将拟三次Bernstein基推广至三角域上,构造了一类三角域上带三个指数形状参数的拟三次Bernstein-Bezier基。拟三次Bernstein基包含经典的三次Bernstein基和三次Said-Ball基为特例。在拟扩展切比雪夫空间理论框架下,证明了该拟三次Bernstein基构成一组最优规范全正基。为了高效和稳定地计算相应的拟三次Bezier曲线,开发了一种新的割角算法。基于包络理论与拓扑映射的方法对拟三次Bezier曲线进行了形状分析,给出了曲线上含有奇点,拐点和曲线为局部凸或全局凸的充分必要条件,这些条件完全由控制多边形和形状参数决定。证明了拟三次非均匀B样条基具有单位性,局部支撑性,线性无关性和全正性等性质。相应的拟三次非均匀B样条曲线对单节点具有c2连续性,包含经典的三次非均匀B样条曲线为特例,且对特别的形状参数取值,曲线可以达到C2∩FCk+3(k∈Z+)阶连续性。基于拟三次Bernstein-Bezier基,给出了一类三角域上的拟三次Bernstein-Bezier曲面片。开发了一种计算三角域上拟三次Bernstein-Bezier曲面片的DeCasteljau-type算法,并给出了G1光滑拼接两张三角域上拟三次Bernstein-Bezier曲面片的充分条件。(2)在拟三次三角函数空间Span{1,sin2t,(1-sint)α,(1-cos,)β}中运用开花方法构造了一组带两个指数形状参数的拟三次三角Bernstein基。基于拟三次三角Bernstein基,构造了一类带两个局部指数形状参数的拟三次三角非均匀B样条基。利用张量积技巧,构造了一类矩形域上带四个指数形状参数的双拟三次三角Bezier基。此外,将拟三次三角Bernstein基推广至三角域上,构造了一类三角域上带三个指数形状参数的拟三次三角Bernstein-Bezier基。在拟扩展切比雪夫空间理论框架下,证明了该拟三次三角Bernstein基构成一组最优规范全正基。开发了一种高效和稳定计算拟三次三角Bezier曲线的割角算法。给出了拟三次三角Bezier曲线精确表示任意一段椭圆弧和抛物弧的控制点选择方案。证明了新构造的拟三次三角B样条基具有单位性,局部支撑性,线性无关性和全正性等性质。相应的拟三次三角非均匀B样条曲线对单节点具有C2∩FC3连续性,且对均匀节点曲线可以达到C3甚至C5阶连续性。给出了G1,G2,G3和G5光滑拼接两张双拟三次三角Bezier曲面片的充分条件。给出了双拟三次三角Bezier曲面片精确表示椭球面片和抛物面片的控制点选择方案。基于拟三次三角Bernstein-Bezier基,构造了一类三角域上的拟三次三角Bernstein-Bezier曲面片。该曲面片能够用于生成边界曲线为椭圆弧或抛物弧的三角曲面片。开发了一种计算拟三次三角Bernstein-Bezier曲面片的DeCasteljau-type算法。此外,推导出了G1光滑拼接两张三角域上拟三次三角Bernstein-Bezier曲面片的充分条件。(3)在一类带有两个指数形状参数的拟四次三角函数空间Span{1,αsint(1-sint)α-1,βcost(1-cost)β-1,(1-sint).,(1-cost)β}中构造了一组与四次Bernstein基性质类似的拟四次三角Bernstein基。基于该拟四次三角Bernstein基,构造了一类带四个局部形状参数的拟四次三角非均匀B样条基。由拟四次三角Bernstein基定义的拟四次三角Bezier曲线能够精确表示椭圆弧和抛物弧。给出了拟四次三角非均匀B样条基具有局部支撑性和线性无关性的充分条件。相应的样条曲线具有保单调性和保凸性,且对特别的形状参数取值,曲线可以达到C2∩FC2k+3(k∈Z+)阶连续性。利用拟四次三角非均匀B样条基,无需求解线性方程组,通过改变局部形状参数取值可灵活方便地生成逼近或插值控制点的C2连续样条曲线。(4)构造了一类带两个局部形状参数的四次有理插值样条基。无需求解线性方程组,该插值样条可以达到C2连续。分析了该插值样条的收敛性并给出了插值误差公式,结果表明该插值样条具有O(h2)逼近阶。通过限制两个局部形状参数取值,给出了该插值样条保正,保单调和保凸的充分条件。
【作者】朱远鹏；
【导师】韩旭里；
【作者基本信息】中南大学，应用数学，2014，博士
【关键词】计算机辅助几何设计；基函数；形状参数；Bernstein基；B样条基；保形插值；

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