广义分数阶微积分中若干问题的研究

【摘要】摘要：研究了几类分数阶常微分方程边值问题的存在性.介绍了广义分数阶微积分的基本理论,研究了广义分数阶谐振子的动力学,研究了广义分数阶对流-扩散方程的数值解和扩散特征,以及广义分数阶变分问题.全文由7部分组成.第1章介绍了分数阶微积分的起源和历史,以及近代分数阶微积分理论的创新与发展.主要从分数阶常微分方程的边值问题,分数阶微分方程的数值计算,广义分数阶导数及其分数阶变分问题等四个方面对现代分数阶微积分理论的发展进行了综述.最后介绍了全文的主要工作.第2章介绍了Banach空间和拓扑度理论基础,Riemann-Liouville分数阶积分,Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo分数阶导数的定义和基本性质.第3章研究了分数阶常微分方程边值问题.利用拓扑度理论中的经典不动点定理研究了Banach空间中带有非正则型边界条件、积分型边界条件和反周期边界条件的分数阶边值问题,获得了上述边值问题普通解和正解存在的充分条件.第4章介绍了第一类广义分数阶算子：K-算子,A-算子和B-算子.研究了这类广义分数阶算子的基本性质以及在扩散波动方程和谐振子方程中的应用.研究了带有指数型核函数的B-算子定义的广义分数阶扩散波动方程的数值解.通过选取指数型核函数,分数次幂核函数和弱奇异型核函数等不同类型的核函数,定义了不同的广义分数阶谐振子方程和广义vanderPol振子.利用有限差分法求解了上述广义谐振子方程,发现广义谐振子具有十分复杂的动力学行为,且不同的动力学性质依赖于核函数的选择.经典vanderPol振子的混沌行为依赖于合适的外力驱动,且极限环在没有外力作用时不会与自身交叉.但是在广义vanderPol振子中,即使没有外力作用,当核函数为弱奇异型时,仍然可以观察到混沌现象以及极限环自身的交叉.第5章介绍了第二类广义分数阶微积分理论,研究了这类分数阶算子的基本性质和在偏微分方程中的应用.广义分数阶积分和微分算子依赖于尺度函数和权重函数,许多已有的分数阶积分和导数可视为广义分数阶算子的特殊情形.首先研究了带有广义分数阶导数的时间分数阶Burgers方程的数值格式和数值解.发现尺度函数和权重函数对Burgers方程的解的扩散特征有显著的影响.考虑了四种不同的尺度函数和两类不同的权重函数,比较了不同的尺度函数和权重函数对扩散速度的具体作用.其次,研究了带有广义分数阶导数的时间分数阶对流一扩散方程的数值解.通过选取一些典型的尺度函数和权重函数,研究了对流-扩散方程解的扩散特征对方程参数,尺度函数,权重函数以及源项函数的依赖性.最后,推导了常系数广义时间分数阶对流-扩散方程的解析解.广义分数阶算子和带权重的Caputo型分数阶算子之间可以建立等价关系.利用分离变量法,可以方便地求得时间分数阶线性偏微分方程的解析解.从解析解可以看出尺度函数和权重函数的位置以及对扩散过程的影响.当权重函数为周期函数时,方程的解在长时间演化中将呈现周期性行为.第6章研究了分数阶变分问题.运用变分学基本原理研究了分数阶泛函极小值问题,分数阶等周问题,分数阶最优控制问题等经典变分问题.研究了固定边界条件的分数阶泛函极值问题和不确定右端边界条件的分数阶泛函极值问题,分别建立了这两类变分问题对应的Euler-Lagrange方程和横截条件.推广了分数阶变分原理,利用第一类广义分数阶导数定义了广义分数阶变分问题.分别研究了固定边界和边界不确定的广义分数阶变分问题,得到了极值的必要条件即广义分数阶Euler-Lagrange方程和一般意义下的横截条件.在一般的平面凸区域上建立了广义分数阶偏导数,定义了二维广义分数阶泛函极值问题和二维广义分数阶等周问题,利用多项式逼近方法求解了上述广义分数阶变分问题的近似解.第7章回顾了全文内容,并展望了分数阶微积分领域未来的若干工作.
【作者】徐宇锋；
【导师】何智敏；
【作者基本信息】中南大学，数学，2014，博士
【关键词】分数阶微积分；分数阶微分方程；有限差分法；分数阶谐振子方程；分数阶vanderPol方程；广义分数阶微积分；广义分数阶Burgers方程；广义分数阶对流-扩散方程；分数阶变分问题；

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