Maxwell特征值问题及Cahn-Hilliard方程的两网格算法研究及应用

【摘要】Maxwell特征值问题的快速算法研究一直是科学和工程计算领域的重要研究课题.本文内容共分为两部分,第一部分比较系统的研究了Maxwell特征值问题的两网格算法,针对当前流行的多种形式的变分问题,提出了相应的两网格算法,证明了两网格算法的误差估计,设计了细网格上的快速算法,最后通过多个数值算例验证了理论的正确性和快速算法的高效性.第二部分针对Cahn-Hilliard方程提出了两网格算法.本文具体内容如下：首先,针对Maxwell特征值问题的棱元离散系统,设计了两网格算法.通过在粗网格求解一个原问题的特征值问题,在细网格上解一个不定方程,再由雷利熵求得近似特征值.在误差分析中,通过比较两网格方法的解与细网格上的有限元解,得到一个误差方程,并将误差分解成相互正交的两部分,其一位于特征空间,另一部分位于特征空间的正交补,我们只需要估计位于特征空间补的部分的误差并通过分析该部分的误差,利用相关引理,证得其误差估计.对于细网格上的解法器,采用了Pminres方法求解.我们采用一个正定的Maxwell方程系统作为其预条件子,该正定的系统采用HX求解.数值实验验证了理论分析的结果,并且测试了求解器的效果.接下来,我们针对混合元的离散系统,提出了相应的两网格方法.通过引入一个Lagrange乘子来处理散度为零条件,我们将要求解一个鞍点型离散系统,该系统相对庞大,但不会出现非物理解.类似地,我们在粗网格求解一个特征值问题,在细网格解一个不定方程.利用同样的证明技巧,证得其误差估计.细网格上的不定方程的求解,通过Pgmres求解.其预条件行为相当于求解一个不含低阶项的Maxwell边值问题,对于该不含低阶项的Maxwell边值问题,我们通过基于DMG磨光的多重网格算法求解,且不需要精确求解,只需要1个Vcycle.然后,我们针对面元离散系统,提出了相应的两网格方法.该离散系统所得的解将严格满足散度为零.对于细网格上的不定方程仍然采用Pgmres,其预条件行为类似于求解一个Stokes方程和一个棱元的质量矩阵.对于Stokes方程的求解,我们采用基于DGS磨光的多重网格算法[70],且不需要精确求解,只需要1-3个Vcycle.最后是本文的第二部分内容,关于Cahn-Hilliard方程的两网格算法研究.通过在粗网格求解一个混合变分问题,在细网格上求解两个第二边值条件的Poisson方程得到数值解.Poisson方程的求解采用多重网格法,数值实验证明了该算法的高效性.
【作者】周洁；
【导师】黄云清；陈龙；
【作者基本信息】湘潭大学，计算数学，2014，博士
【关键词】Maxwell特征值；Cahn-Hilliard方程；快速算法；两网格法；DMG；DGS；

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