Volterra型积分方程的Chebyshev谱配置法和分片谱配置法研究

【摘要】我们的工作分成两个部分,一是Chebyshev谱配置法在一类比例延迟型弱奇性Volterra积分方程方面的应用,二是分片谱配置法在Volterra积分方程和积分微分方程方面的应用,包括非消退延迟型的情形.我们用Chebyshev谱配置法求解了一类比例延迟型弱奇性Volterra积分方程.方法中以ChebyshevGauss-Lobatto点为配置点,用高斯积分公式逼近积分项.我们证明了该方法的数值误差呈谱精度收敛.我们还将该方法延伸应用到解为非光滑函数的一类比例延迟型弱奇Volterra积分方程.ChebyshevGauss-Lobatto点是JacobiGauss点中最容易获得的一类点,这使得我们的方法在提高逼近多项式的次数方面有了更大的优势.我们用压缩映射原理证明了该类方程解的存在唯一性,用归纳法证明了解的光滑性.在处理迟滞积分项方面,我们将积分项分成两个奇异积分,均用Gauss数值积分公式逼近.从而达到了高精度逼近积分项的目的.用有限元法,差分法,龙格库塔方法和分片多项式配置法等求解Volterra积分和积分微分方程,一般是从加密网格的角度提高精度.Volterra积分方程和积分微分方程的整体谱配置法,只能通过增加逼近多项式的次数来收敛提高数值解的精度.本文中,我们将分片多项式配置法结合谱配置法,既可以通过网格加密,也可以通过提高局部逼近多项式的次数来提高数值解的精度,而且对应的局部逼近多项式的次数不受限制,得到的数值解也是整体连续的分段多项式函数.我们还证明了该方法所对应的离散系统的解的存在唯一性.求解Volterra积分微分方程时还可以获得方程解的导函数的数值逼近.我们将分片谱配置法应用于非消退延迟型的Volterra积分方程和积分微分方程.在方法中,选择方程解的主间断点作为区间划分点,由此克服了方程解的主间断性给数值误差收敛带来的干扰.我们证明了该方法的误差收敛也达到谱精度收敛的效果.数值实验表明,与分片多项式配置法相比较,本文的方法具有更高的效率.数值实验中也证实,本文的方法也适用于非线性的情形和迟滞函数为方程解的函数的情形.
【作者】古振东；
【导师】陈艳萍；
【作者基本信息】湘潭大学，计算数学，2014，博士
【关键词】Volterra型积分方程；迟滞型；弱奇性；Chebyshev谱配置法；分片谱配置法；

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