Schr(?)dinger方程保持质量守恒的DDG方法研究

【摘要】本文主要对Schro(?)dinger方程保持质量守恒的DDG(directdiscontinuousGalerkin)方法进行了研究.在第三章,对线性一维及二维Schro(?)dinger方程的守恒数值流进行了选取,对于其半离散格式和全离散格式进行了守恒性分析.其中,在空间离散上采用DDG方法,在时间离散上采用Crank-Nicolson格式.数值实验表明,对于k次元逼近能得到k+1阶精度,而且在长时间的计算后,同样能得到最优收敛阶.实验结果显示,对于取不同的时间,不同的剖分进行计算,都能得到相同的质量,这表明质量是守恒的.在第四章,讨论了势函数取两种情况时的非线性Schro(?)dinger方程,对其守恒数值流进行了选取,并对于其半离散格式和全离散格式进行了守恒性分析.其中,和线性方程不同的是,在空间离散上还是采用DDG方法,而在时间离散上采用Strangsplitting方法.数值实验表明,对于k次元逼近同样能得到k+1阶精度,而且在长时间的计算后,同样能得到最优收敛阶.值得注意的是,在二维情况下,在用偶数次多项式逼近的时候,数值流中的β0[u]/h起到了稳定性的作用.而用奇数k次多项式逼近的时候,即使β0=0,也能达到最优收敛阶k+1阶.最后实验结果显示,质量是守恒的.在第五章,对于线性Schro(?)dinger方程半离散格式进行了误差分析.首先提出了一种全局投影的定义,引进全局投影主要的想法,就是因为界面条件是受到数值流选择的限制的,要引进的全局投影,它不仅能满足相应的界面条件,而且能使得在节点处的“麻烦”项,能够被消除或者被控制住.接着对于全局投影的存在性进行了分析,表明满足一定条件的全局投影是唯一确定的.最后给出了线性Schro(?)dinger方程半离散格式的误差估计式.而对于二维情况的误差分析,如果继续采用一维的方法,则有些“麻烦”项不能被消除或者被控制住,这需要考虑另外的解决方法,这也是正在继续的工作.和传统的Schro(?)dinger方程的保守恒格式相比,我们的方法不仅具有质量守恒性,高精度性和长时间的稳定性,而且不用将方程进行变形求解,大大缩短了计算时间.
【作者】鲁文英；
【导师】黄云清；刘海亮；
【作者基本信息】湘潭大学，计算数学，2014，博士
【关键词】DDG方法；Schro(?)dinger方程；数值流；质量守恒；StrangSplitting方法；Crank-Nicolson格式；

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