重数猜想和稳定迹公式

【摘要】本文证明了Kottwitz重数猜想.当测试函数是Schwartz函数时,实数情形下我们直接具体地给出了局部迹公式的谱项稳定化。特别,当一个测试函数分支是尖点的情形,本文具体构造了稳定局部迹公式的谱项。本篇博士论文有两个目的,一个是解决Kottwitz重数猜想,另一个是直接对局部迹公式的谱项做稳定化。在文章中,稳定迹公式是解决Kottwitz猜想的主要工具,包括要用到整体迹公式和局部迹公式。在假设基本引理成立的条件下,Arthur在[A9],[A10],[A11]中,对一般迹公式做了稳定化。在2008年,C.B.Ngo在[N]中解决了这假设,于是我们得到了无条件的稳定迹公式。整体迹公式的主要方法是诱导的,因此稳定迹公式的主要项不是具体的,同时稳定的局部迹公式的几何项相对来说是具体的。特别在p-adic的情形,如果测试函数是尖点的,稳定的局部迹公式是一个内积公式(Arthur在[A7]中给出了具体的公式)。然而局部迹公式的谱项也不是具体的,所以本文将在实的情形下直接对谱项做稳定化。在这种情况下许多人做了大量的工作,Langlands在[L2]已经对实代数群的不可约表示进行了分类；Shelstad在[S3]和[S4]对tempered表示进行了分类,同时直接构造谱的转换因子和给出了反向的伴随关系.这些是本文的工作基础。Kottwitz重数猜想(具体的重数猜想可参考[SP])是自守表示论中的一个经典问题。这个猜想是要计算在G(R)上的离散级数表示πR在表示空间L2(Γ\G)上的重数,其中r是G的离散子群,G是Q上的K群。在许多情形,猜想已经被解决；最简单的情形,G在Q上是anisotropi,即G(Q)＼G(A)是紧的,是由Langlands在[L1]中解决的。对于非紧商最先的结果是关于G=SL(2),由Selberg在[S]中给出。关于更一般的情形,当G在R上是一阶的,在[OW]中有关于重数mdisc(πR,K0)的公式,当G在R上是任意的阶时,Arthur在[A3]中给出了一个重数和的公式。而对于单个的重数,Kottwitz在[K4]中猜测了单个重数mdisc(πR,K0)的公式,StevenSpallone在[Sp]中证实了这猜想的2种特殊情形。本文的目的是完全解决这个猜想,同时推广这个猜想到一般的情形,即当约化群是K群的情形。第一章,介绍了K群,它是连通的约化群的并集,当F是p-adic的情形,K群仍然是连通群,如果F是Archimedean的,K群是不连通的,然而在这种情形,K群有好的稳定化性质,同时任意的连通群决定一个唯一的K群。本章中给出了一些K群的例子,我们发现不变分布和稳定分布都能自然扩张到K群上。在第二章,我们获得了重数和不变迹公式的关系。但是当测试函数是伪系数时,我们还不能得到一个具体的不变迹公式,因为在这种情况下,测试函数不是稳定的。为了克服这个困难我们要对不变迹公式做稳定化。通常我们说的不变迹公式是关于I(f)通过两种不同的展开而获得的恒等式。它的一边叫几何展开即是被Levi子群共轭类参数化的分布的线性合成。它的另一边叫谱展开即是被Levi子群表示参数化的分布的线性合成,其中f∈H(G,V).Arthur在[A11]中对不变迹公式做了稳定化。我们在第3章把重数写成整体的稳定迹公式的几何项。同时我们用分离公式约化整体迹公式的局部分支到实部的情形.当然,相对于局部迹公式,整体迹公式的局部分支更复杂一些,因为它包含了幂幺元的分布的贡献.但是当测试函数是稳定尖点时,来自幂幺元的分布将等于零,从而局部迹公式和整体迹公式的局部分支相同。而伪系数函数在Shelstad的变换映射下是稳定的和尖点的。因此研究稳定的局部迹公式就足够了。一般来说局部迹公式的几何项是关于半单元,而局部迹公式的谱项是关注温和表示。不变局部迹公式的谱项包含了一个自然的对象,即virtualcharacter,在[A5]中我们用virtualcharacter给出了一个简单的不变迹公式。因此第四章介绍了在实情形下的virtualcharacter,同时定义了变换因子△(τ,φ)和△(φ,τ),这要用到Shelstad在[A3]中的工作。从而我们能对局部迹公式的谱项做稳定化,当测试函数的一个分支是尖点时,我们仅仅需要考虑椭圆表示。第五章,我们获得了一个关于局部迹公式的谱项的具体公式：第六章结合Arthur的工作直接对一般条件下的局部迹公式的谱项做稳定化。第七章,我们获得主要项SMG(δ,φ).同时我们要去稳定化Weyl积分公式,它联系了局部迹公式的几何项和谱项。我们通过对照稳定的局部迹公式和稳定的Weyl积分公式就能得到想要的主项。在第八章,我们建立了SMG(δ,f)和不变主项ΦM(r,f)的联系,从而我们能克服关键的障碍,当δ不是半单时,我们有SGM(δ,fφμ)=0。考虑各个项,就得到了我们的重数公式。
【作者】彭志峰；
【导师】秦厚荣；
【作者基本信息】南京大学，基础数学，2014，博士
【关键词】重数公式；离散表示；不变迹公式；稳定迹公式；K群；转换因子；稳定的局部迹公式；谱项；几何项；

【参考文献】
[1]唐溶海.《俄罗斯茶史、林业公司章程》翻译报告[D].四川外国语大学,翻译（专业学位）,2014,硕士.
[2]翟小东.混合动力液压挖掘机工作模式及能量管理策略研究[D].西安建筑科技大学,车辆工程,2013,硕士.
[3]王晓峰.超临界机组用耐热钢的开发及相关基础研究[D].中南大学,材料科学与工程,2013,博士.
[4]李鹏.TiO_2光催化复合氧化法处理电镀添加剂生产废水的工程化实验研究[D].广东工业大学,环境工程,2013,硕士.
[5]周光亮.医疗美容损害赔偿责任问题研究[D].贵州民族大学,经济法学,2013,硕士.
[6]孟令国.开滦矿区炼焦煤特性及煤质变化趋势预测的研究[D].北京化工大学,化学工程（专业学位）,2013,硕士.
[7]樊晶.马克思社会发展评价尺度探略[D].新疆师范大学,马克思主义哲学,2013,硕士.
[8]方振强.我国农业补贴对粮食生产的影响[D].山东财经大学,国民经济学,2013,硕士.
[9]韩宜海.中国电工技术学会节能学术讨论会在长沙召开[J].冶金自动化,1982,05:63.
[10]任文静.马克·吐温短篇小说中的异化现象研究[D].华中科技大学,英语语言文学,2013,硕士.
[11]俱攀武.盾构刀盘设计分析与高效掘进技术研究[D].兰州理工大学,机械制造及自动化,2014,硕士.
[12]李可顺.船用柴油机涡轮增压器对环境温度适应性分析[D].大连海事大学,轮机工程,2004,硕士.
[13]高民胜.微博用户关系网络演化特性的初步研究[D].北京化工大学,控制科学与工程,2013,硕士.
[14]潘红伟.引种刺槐繁殖和耐盐性研究[D].河北农业大学,森林培育,2004,硕士.
[15]杨晓霞.海上油气田工程设施数字化应用推广实践及方法论研究[D].天津大学,软件工程金融信息化,2013,硕士.
[16]陈从颜,宋文忠.基于非线性观测器设计的混沌同步控制[J].控制与决策,2005,05:586-588.
[17]陈育彬.马克思主义哲学视阈下的城市交通管理[D].浙江工业大学,2012.
[18]朱泓.刍议船舶节能优化管理[J].水路运输文摘.2005(12)
[19]姚红玉.我的新教师生活[D].广西师范大学,课程与教学论,2003,硕士.
[20]顾容,沈洋洋,陈丹.面向翻转课堂的学习支持服务研究[J].中国远程教育,2014,05:72-77.
[21]孙倩.纳米银1号的药效学及体内分布特性研究[D].青岛大学,药理学,2013,硕士.
[22]朱良.6LoWPAN无线传感器网络的路由协议研究[D].华中师范大学,通信与信息系统,2013,硕士.
[23]黄雯.福建省新建本科院校外籍教师绩效管理研究[D].华侨大学,公共管理（专业学位）,2013,硕士.
[24]蔡峰涛.能源消费、经济增长与环境污染关系的计量分析[D].西北师范大学,人口、资源与环境经济学,2013,硕士.
[25]张明喆.光电混合片上网络技术研究[D].内蒙古大学,计算机系统结构,2013,硕士.
[26]向义芝.基于PGP平台的七年级数学课堂教学研究[D].华中师范大学,教育技术学,2014,硕士.
[27]阿克俊.准零差平衡函数及其构作[D].苏州大学,应用数学,2014,硕士.
[28]杨越岚.中学生道德认识能力及其培养研究[D].河北师范大学,思想政治教育,2014,硕士.
[29]黄琦.TRIPS协定下交叉报复法律问题研究[D].厦门大学,法律,2014,硕士.
[30]张倩倩.解析《白马驮经》乐曲技术特点及感悟刘德海的创作思想理念[D].中央音乐学院,琵琶,2012,硕士.
[31]秦超红.嵌入式轨道线路稳定性研究[D].西南交通大学,道路与铁道工程,2014,硕士.
[32]胡艺超.电针结合逍遥丸治疗慢性疲劳综合征的临床研究[D].广州中医药大学,针灸推拿学,2013,硕士.
[33]李宾.应用于分布式发电的三相并网逆变器控制研究[D].浙江大学,2013.
[34]彭福军.裂殖酵母中Dnt1参与DNA损伤及修复的初步研究[D].厦门大学,生物化学与分子生物学,2014,硕士.
[35]陈晓培,张彤,夏艳,叶宏,于群.聚氟乙烯膜及改性的聚氟乙烯膜的制备、表征与分离性能研究[J].广州化工,2013,14:76-78+84.
[36]马越.多b值在胶质瘤术前分级诊断中的应用研究[D].吉林大学,临床医学,2014,硕士.
[37]杨骐文.叙事与儿童成长[D].湖南师范大学,教育（专业学位）,2013,硕士.
[38]王海漪.太原市征收个人住房房产税的相关问题研究[D].山西财经大学,社会保障学,2013,硕士.
[39]陈姝含.非物质文化遗产保护中的政府职能研究[D].云南财经大学,行政管理,2014,硕士.
[40]高雅.论对外汉语教学中口语交际能力的培养[D].苏州大学,汉语国际教育（专业学位）,2013,硕士.
[41]孙妍峰.我国网络原创文学的版权问题研究[D].河北大学,传播学,2014,硕士.
[42]王丽军.与动漫结合的儿童玩具设计研究[D].广东工业大学,设计学,2014,硕士.
[43]施恒利.汉字种子混淆集的构建方法研究[D].江苏科技大学,计算机技术（专业学位）,2014,硕士.
[44]刘叶.铁路货运电子商务数据交换系统方案研究[D].西南交通大学,交通运输规划与管理,2014,硕士.
[45]邓文蕾.猪流行性乙型脑炎单克隆抗体的制备及对病毒蛋白EDIII表位的鉴定[D].南京农业大学,预防兽医学,2011,硕士.
[46]蔡玉瑾.发育中小鼠胃肠道胃泌素细胞的形态学研究[D].山西医科大学,组织胚胎学,2002,硕士.
[47]任亚杰.全光纤结构千瓦掺镱光纤激光器[D].国防科学技术大学,光学工程,2012,硕士.
[48]赵红.云南民族音乐在琵琶音乐创作及演奏中的应用研究[D].云南艺术学院,MFA琵琶演奏,2014,硕士.
[49]马诚太.不同启动子和插入位点表达AIV-H9 HA抗原的重组马立克氏病病毒的构建和比较研究[D].山东农业大学,预防兽医学,2014,博士.
[50]王晓.面向Ad hoc网络的分布式空时编码技术研究[D].西安电子科技大学,通信与信息系统,2012,硕士.