分数阶偏微分方程的有限差分方法

【摘要】由于分数阶微积分和分数阶微分方程在物理学,工程,经济学和其他一些研究领域的广泛应用,近几十年来,它们得到迅猛的发展.到目前为止,求解一些特殊的分数阶微分方程解析解的方法有积分变换法(Laplace变换,Fourier变换和Mellin变换),Adomian分裂方法,分离变量法等等.然而,对于大多数分数阶微分方程来说,它们的解析解一般是不能获得的.因此,研究分数阶导数和分数阶微分方程的数值方法显得尤为重要.本文共有五章.具体的研究工作如下:第一章简要地介绍分数阶微积分的发展概况及分数阶微积分的定义和基本性质,分数阶微积分及其分数阶微分方程数值解的现状以及本文的主要工作.第二章主要研究了求解Riemann-Liouvile导数和Riesz导数高阶数值算法,在第一部分,我们介绍求解Riemann-Liouvile导数的已有算法,然后提出一个分数阶平均-中心差分算子,以此为基础,我们再得到一个四阶紧致格式,同时我们也给出了一种计算分数阶线性多步法系数的公式,并且重点对二阶系数进行了讨论.第二部分讨论了Riesz导数的高阶算法,先根据Riemann-Liouvile导数的算法给出相应的Riesz导数的算法,然后以分数阶对称中心差分算子为基础,给出了四、六、八、十、十二阶公式.第三章研究了反应–亚扩散方程的算法.在空间方向利用混合样条函数,时间方向利用向前,向后差分公式,我们得到两类差分公式.通过选取参数我们发现,已有的一些数值算法是我们算法的一些特例.利用Fourier方法,我们证明了一类差分格式是无条件稳定和收敛的,另外一类是条件稳定和收敛的.最后通过一些数值例子证明了数值算法的有效性.第四章讨论了带有反应项的分数阶波方程的高阶数值方法.首先,利用Caputo导数和Riemann-Liouvile导数的关系,我们得到原方程的两个等价形式.对时间方向导数,我们利用二阶公式,对空间方向导数,利用四阶紧致差分公式,最后得到两个高阶数值算法,并且利用Fourier方法分析了他们的稳定性.最后用一个数值例子验证了算法的有效性.在最后一章中,我们提出了两个求解反应–色散方程的高阶算法.利用矩阵方法,我们证明了这两个差分格式都是无条件稳定和收敛的,且收敛阶分别为O(τ2+h6)和O(τ2+h8),其中τ和h分别是空间和时间步长.最后,我们通过观察数值结果,发现和理论分析完全一致.
【作者】丁恒飞；
【导师】李常品；
【作者基本信息】上海大学，计算数学，2014，博士
【关键词】Riemann-Liouville导数；Caputo导数；Riesz导数；分数线性多步方法；稳定性分析；

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