方圆域内函数的多项式插值及应用

【摘要】早期的单区域谱方法主要是研究正方形区域、圆域等规则区域的问题,这里我们引入一个新的区域：方圆域,该区域是由B(x,y)≡x2v+y2c-1=0定义的方圆形曲线为边界的区域.这个区域的边界随着v的变化,而平滑的由圆域(v=1)变为正方形域(v=∞).这个区域有很多好的性质,值得我们深入研究.本文考虑了在八元的D4对称群下不变的区域,即这个区域是关于x轴和y轴以及对角线x=y做映射不变的.本文避免了对群论知识进行详细的研究,而是直接将群论当做一种工具来解决问题,将网格对称化；成功地将任意一个函数分解成六个对称不变的组成部分,同时将插值问题分解成六个不相关的子问题；将Chebyshev多项式、Zernike多项式以及任意类型的径向基函数(RBFs)构造成对称不变的基函数,并且应用到了任意的在二面体群D4下不变的区域.数值实验是利用对称化的径向基函数拟谱方法在方圆域上求解Possion方程；以及利用对称化的Chebyshev多项式求解正方形区域上的Helmholtz方程的特征值,表明了每个模型仅属于6个D4类中的一个.对于特定的具有奇异性的函数,本文利用多项式最小二乘超插值法进行逼近,当点数的个数P大于等于基函数的个数N的二倍的时候,逼近结果是几何收敛的.设计并选用了一类新的网格：Chebyshev型网格,即通过对B(X，y)的等值线进行选择,使得靠近边界处的网格点更密集.在方圆域内利用高斯径向基函数插值法时,采用了构造起来相对容易的均匀截断网格,发现在没有边界点的情况下也是成功的,同时验证了如果增加边界点,误差将在空间上更均匀.算例表明在给定点数P时,径向基函数插值法只比多项式超插值稍微精确了一点,同时它需要2倍的基函数.插值消耗的运算量通过利用方圆区域内的八元二面体群D4的不变性得到了大大的削减.
【作者】李珊；
【导师】马和平；
【作者基本信息】上海大学，计算数学，2014，博士
【关键词】拟谱方法；Chebyshev多项式；Zernike多项式；径向基函数；群论；D4；二面体群；超插值；

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