凸体的Orlicz理论及非对称度研究

【摘要】本学位论文的研究内容隶属于凸几何分析中的Orlicz-Brunn-Minkowski理论(也称凸体的Orlicz理论),该理论是最近几年迅速发展起来的重要研究分支.本文致力于Orlicz-Brunn-Minkowski理论中一些基础性研究,特别是在凸体的Orlicz度量,凸体的Orlicz差体不等式,Orlicz对偶混合体积以及凸体的Orlicz非对称度等方面进行了较深入的研究.本文的另一个研究内容是常宽体的对称性等性质.这部分研究从对称性角度刻画了常宽体的一些极值特征,特别是给出了常宽体关于Minkowski非对称度以及平均Minkowski非对称度的分布定理(也称极值定理).本文的研究工作可以分为两部分：第一部分是对Orlicz-Brunn-Minkowski理论的基础性研究.这部分内容包括第二,三,四,五章.在第二章中我们证明Orlicz度量与Hausdorff度量的等价性,从而得出所有紧凸集组成的空间Cn在Orlicz度量δφ下构成完备的,可分度量空间.在第三章中我们利用新近引入的Orlicz加法运算定义凸体Orlicz差体,并在平面上建立了Orlicz差体不等式.在第四章中我们定义调和Orlicz组合,引入Orlicz对偶混合体积的概念,并且建立相应的Orlicz-Minkowski对偶混合体积不等式和对偶Orlicz-Brunn-Minkowski不等式.在第五章中我们把凸体Minkowski非对称度推广为更一般的Orlicz非对称度,得到凸体关于Orlicz非对称度的分布定理,并且讨论相应的Orlicz非对称度临界点的性质.第二部分研究常宽体的对称性,这部分内容包括第六,七章.在第六章中我们主要研究常宽体的Minkowski非对称度的临界集,建立了常宽体关于Minkowski非对称度的分布定理,并进一步给出相应的稳定性结果.在第七章中我们研究常宽体的平均Minkowski非对称度,建立相应的分布定理.这两章的内容从对称性方面刻画出了常宽体的极值体-正则单形的完备体.人们猜测著名的Meissner体是体积最小的三维常宽体(在宽度相同的情况下),而Meissner体是正四面体的完备体,因此我们的工作将为解决这个猜测提供某种启示.
【作者】金海林；
【导师】冷岗松；
【作者基本信息】上海大学，基础数学，2014，博士
【关键词】凸体；星体；常宽体；Reuleaux三角形；Meissner体；Orlicz度量；Orlicz差体；Orlicz对偶混合体积；Orlicz非对称度；Minkowski非对称度；平均Minkowski非对称度；

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