基于变分积分子的动力学系统的对称性与守恒量研究

【摘要】本文以离散变分原理为基础，研究了基于变分积分子的动力学系统的离散对称性和守恒量。基于变分积分子的数值算法是一种具有保辛算法优势的新的数值计算方法。而基于变分积分子的对称性和守恒量理论同样也可以为不同的动力学系统提供可能的正确的解。因此，基于变分积分子的动力学系统的离散对称性和守恒量理论的研究具有重要的理论和现实意义。全文的主要内容可以概括为如下几部分：第一部分包括第一章和第二章：主要概述了国内外对动力学系统的离散对称性和守恒量的研究现状。简单介绍了与变分积分子紧密相连的离散变分算法理论的研究现状和研究意义。在不同的差分类型中，总结了两种主要的离散格式。并给出了两类差分类型的系统的差分方程形式，比较两类差分方程的异同。就第二种离散格式，比较了离散变分原理和差分离散变分原理对应的差分方程的物理意义。第二部分是第三章：基于差分离散变分原理得到Hamilton系统的差分方程和辛格式。从离散Lagrange方程出发，通过三种不同的离散Legendre变换，得到了三种不同形式的离散Hamilton方程和不同的辛格式形式。分析了三种不同的Hamilton差分方程和辛格式的物理意义。基于差分离散变分原理，分别得到三类Legendre变换下系统的离散Noether定理。第三部分是第四章：主要讨论了场论中的离散对称性和守恒量的问题。基于差分离散变分原理，给出了场论中的离散能量方程和离散动量方程。定义了场论中的离散的Noether对称性和Noether准对称性。由系统离散Noether定理得到系统的守恒量。非线性Schrdinger方程的计算表明：对于离散场论问题，只要利用离散对称性得到Noether等式的解，总能找到对应的离散守恒量。第四部分主要研究带有非保守力的Hamilton系统离散的非Noether对称性。这一部分包括第五章、第六章、第七章。通过引入无限小生成元和Lie群理论，分别研究了系统的Lie对称性、Mei对称性、共形不变性及其导致的守恒量。采用第二种离散格式的表述，用第二种离散Legendre变换，给出离散非保守Hamilton系统的差分动力学方程。在此基础上，得到了系统离散的Lie对称性、Mei对称性的定义和判据。在守恒量的研究过程中，主要通过离散的Noether定理得到Noether守恒量。通过离散Kepler系统的算例,说明了离散系统的结果与连续系统的结果具有较好的一一对应关系。数值计算结果也验证了基于离散差分变分原理的离散化方法具有较好的保系统的结构的优势。对于Lagrange系统离散共形不变性的研究，得到了系统的离散的Mei对称性共形不变性的判定方程、离散的Noether等式和守恒量。最后，对本文的研究工作进行了总结，提取了本文的创新点，进一步展望了将来的研究工作。
【作者】夏丽莉；
【导师】陈立群；
【作者基本信息】上海大学，一般力学与力学基础，2014，博士
【关键词】差分离散变分原理；变分积分子；对称性；守恒量；数值算法；

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